Question

Determine o polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é igual ao número de diagonais multiplicado por 180.

a) Triangular
b) Octogonal
c) Decagonal
d) Hexagonal
e) Quadrangular

Answer 1

antes vamos colocar as fórmulas da soma dos ângulos internos e do número de diagonais:

Soma dos ângulos internos - $S_{n}=180.(n-2)$

Número de diagonais - $d=\frac{n.(n-3)}{2}$

agora vamos interpretar o enunciado. Ele quer o polígono cuja soma dos angulos internos seja = número de diagonais vezes 180, ou seja:

$S_{n}=180d$

agora vou aplicar esse valor na fórmula, fica assim:

$180d=180(n-2)$

$\frac{180d}{180}=n-2$

$d=n-2$

agora que temos que d = n - 2 podemos jogar na segunda fórmula, e assim encontraremos o número de lados, fica assim:

$n-2=\frac{n^{2}-3n}{2}$

$2(n-2)=n^{2}-3n$

$2n-4=n^{2}-3n$

$n^{2}-3n-2n+4=0$

joga numa bhaskara o esse bichão ai:

$\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^{2}-4.1.4}}{2.1}$

$\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}$

$\frac{5\pm\sqrt(9)}{2}$

$\frac{5\pm3}{2}$

ai vão ter as duas respostas n' e n'', fica assim:

n' - $\frac{8}{2}$

n' - $4 lados$

n'' - $\frac{2}{2}$

n'' - $1 lado$

mas como não existe figura de um lado a resposta é a alternativa E, quadrangular.

Espero que não tenha ficado muito confuso ou algo do tipo, qualquer coisa tamo aí.