Question

Determine o polígono convecxo cuja a soma dos ângulos internos é igual ao numero de diagonais multiplicado por 180.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Cgisenna, que é simples.
Antes note que o número de diagonais de um polígono convexo é dado por:

d = n*(n-3)/2 , em que "d" é o número de diagonais e "n" é o número de lados.

Por sua vez, a soma dos ângulos internos de um polígono convexo é dado por:

Si = 180*(n-2) , em que "Si" é a soma dos ângulos internos e "n" é o número de lados.

Dessa forma, como a soma dos ângulos internos desse polígono convexo é igual a 180 vezes o número de diagonais, então faremos isto:

Si = 180*d ------ substituindo "Si" e "d" por suas fórmulas já vistas anteriormente, teremos:

180*(n-2) = 180*n*(n-3)/2
180*(n-2) = 180n*(n-3)/2 ---- veja que: se dividirmos ambos os membros por "180", vamos ficar da seguinte forma:

(n-2) = n*(n-3)/2 ------ multiplicando em cruz, teremos:
2*(n-2) = n*(n-3) ----- efetuando o produto indicado nos dois membros, teremos:

2n - 4 = n² - 3n ------ vamos passar todo o 1º membro para o 2º, ficando:
0 = n² - 3n - 2n + 4  ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
0 = n² - 5n + 4 ----- vamos apenas inverter, ficando:
n² - 5n + 4 = 0 ----- aplicando Bháskara, encontraremos as seguintes raízes:

n' = 1 <--- raiz descartada, pois não há polígono com apenas um lado.
n'' = 4 <--- raiz válida.

Assim, tomando apenas a segunda raiz, temos que o polígono da suaquestão tem:

4 lados e, como tal, é um quadrilátero. <---- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.