Determine o plano que contém o ponto A(3,3,4) e a reta r: {x=1+k , y=-2+3k , z=5+7k}
Soluções para a tarefa
Resposta:
38x-15y+z-73 = 0
Explicação passo-a-passo:
Se dois pontos distintos da reta está no plano então a reta está contida no plano. Vc lembra disso, lá da geometria do 2° ano? Já tem um que pertence que é A(3,3,4). Falta achar dois, porque com 3 pontos a gente consegue determinar o plano, conforme o que foi aprendido na geometria plana do 9º ano.
k = 0, temos o ponto B(1,-2, 5).
k = 1, temos o ponto C(2, 1, 12).
Um método para determinar a equação de um plano que passa pelos pontos A, B, C é considerar os vetores AB, AC, AP, onde P(x, y, z) é um ponto qualquer sobre este plano, que chamaremos de α. Sendo estes vetores coplanares, segue que o produto misto destes vetores é nulo, isto é: (AB, AC, AP) = 0
AB = B-A=(1,-2, 5) - (3,3,4)=(-2, -5, 1)
AC = C-A=(2, 1, 12)-(3,3,4)=(-1, -2, 8)
AP = P-A= (x, y, z)-(3,3,4)=(x-3, y-3, z-4)
Agora é só calcular o produto misto, resolvendo essa equação matricial.
|-1 .............-2...............8|
|-2.............-5................1| = 0
|x-3........y-3............z-4|
Multiplica a 1ª e 2ª linha por -1. Essa decisão não altera o valor do determinante.
|1 .............2...............-8|
|2.............5................-1| = 0
|x-3........y-3............z-4|
Agora aplica Chió ou sarri. Vou aplicar Chió.
|1...................................15|
|y-2x+3 .......... 8x+z-28| = 0
8x+z-28 -(15y-30x+45) = 0
38x-15y+z-73 = 0
A prova de que a resposta está certa é que ao substituirmos os pontos do plano os quais trabalhamos que são ((1, -2,5); (2, 1, 12) e (3,3,4) a equação será satisfeita.
Qualquer ponto da reta, por estar contida no plano satisfará também a equação encontrada. Bjs