Question

Determine o perímetro do triângulo de vértices A(2, 4), B(4, 2) e C(1, 1).

Answer 1

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$\rm\large\green{\boxed{~~~\orange{P}~\pink{=}~\blue{ 2 \cdot (\sqrt10 + \sqrt2) }~~~}}$

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$\bf\large\green{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$

$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá, Gabriele, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗

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☔ Confira a resolução abaixo e após o resultado você encontrará um resumo sobre a equação para a distância entre dois pontos para duas dimensões que eu espero que te ajude no futuro nos próximos exercícios deste tipo. ✌

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☔ Temos que o perímetro do triângulo, sendo a soma de seus lados, pode ser encontrado se tivermos o comprimento destes lados. Portanto vamos utilizar a equação da distância entre dois pontos para encontrar essa comprimento e depois somar os 3 lados.

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➡ $d_{AB}  = \sqrt{(4  - 2)^{2}  + (2  - 4)^{2}}$

➡ $d_{AB}  = \sqrt{(2)^{2}  + (-2)^{2}}$

➡ $d_{AB}  = \sqrt{4 + 4}$

➡ $d_{AB}  = \sqrt{8}$

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$\sf\large\green{\boxed{\blue{~~~d_{AB}  = \sqrt{8} = 2 \cdot \sqrt{2}~~~}}}$

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➡ $d_{AC}  = \sqrt{(1  - 2)^{2}  + (1  - 4)^{2}}$

➡ $d_{AC}  = \sqrt{(-1)^{2}  + (-3)^{2}}$

➡ $d_{AC}  = \sqrt{1 + 9}$

➡ $d_{AC}  = \sqrt{10}$

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$\sf\large\green{\boxed{\blue{~~~d_{AC}  = \sqrt{10}~~~}}}$

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➡ $d_{BC}  = \sqrt{(1  - 4)^{2}  + (1  - 2)^{2}}$

➡ $d_{BC}  = \sqrt{(-3)^{2}  + (-1)^{2}}$

➡ $d_{BC}  = \sqrt{9 + 1}$

➡ $d_{BC}  = \sqrt{10}$

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$\sf\large\green{\boxed{\blue{~~~d_{BC}  = \sqrt{10}~~~}}}$

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☔ Portanto temos que o perímetro será

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➡ P = $d_{AB}  + d_{AC} + d_{BC} = 2 \cdot (\sqrt10 + \sqrt2)$

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$\rm\large\green{\boxed{~~~\orange{P}~\pink{=}~\blue{ 2 \cdot (\sqrt10 + \sqrt2) }~~~}}$ ✅

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DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

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☔Quando dois pontos são paralelos ao eixo das abscissas (x) ou das ordenadas (y) podemos verificar isto pela sua igualdade nas coordenadas x ou y e portanto sua distância será a diferença na coordenada que não está alinhada. Quando dois pontos não são paralelos aos eixos podemos interpretar a distância entre estes dois pontos, escritos na forma de pares ordenados

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$\large\gray{\boxed{\rm\blue{ A = (x_{a}, y_{a}) }}}$

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$\large\gray{\boxed{\rm\blue{ B = (x_{b}, y_{b}) }}}$

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como sendo a hipotenusa de um triângulo retângulo em que os catetos são Δx e Δy de forma que

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➡$\Delta x\ =\ distancia\ de\ x_{b}\ ate\ x_{a}$

➡$\Delta y\ =\ distancia\ de\ y_{b}\ ate\ y_{a}$

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$\setlength{\unitlength}{0.8cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\line(1,0){7}}\put(3,-3){\line(0,1){7}}\put(7.2,0){x}\put(2.9,4.4){y}\put(7.1,0.45){\line(-4,-22){0.45}}\put(3.46,4.25){\line(-4,-31){0.45}}\put(1.3,0.6){\line(3,2){4}}\put(5.3,0.6){\circle*{0.2}}\put(1.3,0.6){\circle*{0.2}}\put(5.3,3.25){\circle*{0.2}}\put(1.2,0.6){\line(1,0){4.1}}\put(5.3,0.6){\line(0,1){2.7}}\put(5.1,3.7){A}\put(3.2,0.8){ \Delta x }\put(5.7,2){ \Delta y }\put(1.1,1){B}\end{picture}$

$(Esta\ imagem\ n\tilde{a}o\ \acute{e}\ visualiz\acute{a}vel\ pelo\ App\ Brainly\ ☹)$

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☔ Pelo Teorema de Pitágoras podemos descobrir a hipotenusa deste triângulo pela seguinte manipulação algébrica

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➡ $d^{2} = (\Delta\ x)^{2}  + (\Delta\ y)^{2}$

➡ $d^{2} = (x_{b}  - x_{a})^{2}  + (y_{b}  - y_{a})^{2}$

➡ $d =\pm \sqrt{(x_{b}  - x_{a})^{2}  + (y_{b}  - y_{a})^{2}}$

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Porém como estamos tomando a distância para medir um comprimento e sendo o comprimento uma grandeza não orientada então sempre assumiremos somente a sua solução positiva

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$\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \orange{ d = \sqrt{(x_{b}  - x_{a})^{2}  + (y_{b}  - y_{a})^{2}} } & \\ & & \\ \end{array}}}}}$

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\large\textit{"Absque~sudore~et~labore}$

$\large\textit{nullum~opus~perfectum~est."}$