Question

Determine o perimetro do triangulo cujos vértices são os pontos A(1,1) , B(2,3) e C (5,1)

Answer 1

Olá, para resolver essa questão vc deverá utilizar a fórmula da distância entre dois pontos.

$d = \sqrt{ {(x2 - x1)}^{2} + {(y2 - y1)}^{2} }$

Primeiro, faremos o lado AB

$d (ab)= \sqrt{ {(1 - 2)}^{2} + {(1 - 3)}^{2} } \\ d (ab)= \sqrt{ {( - 1)}^{2} + {( - 2)}^{2} } \\ d (ab)= \sqrt{ 1 + 4 } \\ d (ab)= \sqrt{ 5 }$

Agora o lado BC

$d (bc)= \sqrt{ {(2 - 5)}^{2} + {(3 - 1)}^{2} } \\ d (bc)= \sqrt{ {( - 3)}^{2} + {(2)}^{2} } \\ d (bc)= \sqrt{9 + 4 } \\ d (bc)= \sqrt{13}$

E por fim o lado AC

$d (ac)= \sqrt{ {(1 - 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2} } \\ d (ac)= \sqrt{ {( - 4)}^{2} + {(0)}^{2} } \\ d (ac)= \sqrt{ 16 } \\ d (ac)= 4$

Agora que sabemos as medidas dos lados, é necessário calcular o perímetro, ou seja, a soma de todos os lados:

$P = \sqrt{5} + \sqrt{13} + 4$

Espero ter ajudado!

Answer 2

Resposta: $2p=\sqrt{5}+\sqrt{13}+4\ \ u.c.$

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, lembre-se que a distância $d_{\overline{P'P''}$ entre dois pontos quaisquer $P'=(x',y')$ e $P''=(x'',y'')$ do plano cartesiano, sendo $x',\ y',\ x'',\ y''\ \in\ \mathbb{R}$, é dada por:

$d_{\overline{P'P''}}=\sqrt{\left(x''-x'\right)^{2}+\left(y''-y'\right)^{2}}\ \ \ \Leftrightarrow$

$\left(d_{\overline{P'P''}}\right)^{2}=\left(x''-x'\right)^{2}+\left(y''-y'\right)^{2}$

Retornando ao exercício proposto, temos que os três vértices $A,\ B,\ C$ do triângulo $\Delta\ ABC$ são os pontos $A=(1,1)$, $B=(2,3)$ e $C=(5,1)$. Seu perímetro $2p$ é simplesmente a soma $2p=d_{\overline{AB}}+d_{\overline{AC}}+d_{\overline{BC}}$, ou seja, trata-se da soma das medidas de seus três lados $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$. Note que o comprimento $m\left(\overline{AB}\right)$ do lado $\overline{AB}$ é a distância entre os pontos $A=(1,1)$ e $B=(2,3)$ do plano $\left(d_{\overline{AB}}=m\left(\overline{AB}\right)\right)$. O mesmo vale para os comprimentos $m\left(\overline{BC}\right)$ e $m\left(\overline{AC}\right)$ dos lados $\overline{BC}$ e $\overline{AC}$ $\left(d_{\overline{BC}}=m\left(\overline{BC}\right)\ \land\ d_{\overline{AC}}=m\left(\overline{AC}\right)\right)$. Com isso $d_{\overline{AB}}$ vale:

$\left(d_{\overline{AB}}\right)^{2}=(2-1)^{2}+(3-1)^{2}\ \ \ \Leftrightarrow$

$\left(d_{\overline{AB}}\right)^{2}=1^{2}+2^{2}\ \ \ \Leftrightarrow$

$\left(d_{\overline{AB}}\right)^{2}=5\ \ \ \land\ \ \ d_{\overline{AB}}\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\ \ \ \Rightarrow$

$d_{\overline{AB}}=\sqrt{5}$

Já a distância $d_{\overline{AC}}$:

$\left(d_{\overline{AC}}\right)^{2}=(5-1)^{2}+(1-1)^{2}\ \ \ \Leftrightarrow$

$\left(d_{\overline{AC}}\right)^{2}=4^{2}+0^{2}\ \ \ \Leftrightarrow$

$\left(d_{\overline{AC}}\right)^{2}=16\ \ \ \land\ \ \ d_{\overline{AC}}\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\ \ \ \Rightarrow$

$d_{\overline{AC}}=4$

Por fim, a distância $d_{\overline{BC}}$ é igual a:

$\left(d_{\overline{BC}\right)^{2}=(5-2)^{2}+(1-3)^{2}\ \ \ \Leftrightarrow$

$\left(d_{\overline{BC}}\right)^{2}=3^{2}+(-2)^{2}\ \ \ \Leftrightarrow$

$\left(d_{\overline{BC}}\right)^{2}=13\ \ \ \land\ \ \ d_{\overline{BC}}\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\ \ \ \Rightarrow$

$d_{\overline{BC}}=\sqrt{13}$

Portanto, o perímetro $2p$ do triângulo $\Delta\ ABC$ é dado por:

$2p=d_{\overline{AB}}+d_{\overline{AC}}+d_{\overline{BC}}\ \ \ \Leftrightarrow$

$2p=\sqrt{5}+\sqrt{13}+4\ \ u.c.$

Um grande abraço!