Question

Determine o perímetro do triângulo ABD, em cm, representado na figura abaixo


A) 5√3 + 5
(B) 5 (2 + √2)(√3 + 1)
(C) 20 + 4 √5
(D) 45
(E) 50

Answer 1

Boa tarde Bia 

tg(30) = x/(x + 10) 

√3/3 = x/(x + 10) 

3x = √3x + 10√3
3x - √3x = 10√3
x*(3 - √3) = 10√3

x = (10√3)/(3 - √3) 
x = 10√3*(3 + √3)/(3 + √3)*(3 - √3))
x = (30√3 + 30)/(9 - 3)
x = (30√3 + 30)/6 = 5*(√3 + 1)

y² = x² + x²
y² = 2x²

y = √2*x 

perimetro 

P = 2x + y

P = 2x + √2*x = x*(2 + √2)
P = 5*(√3 + 1)*(2 + √2) 

alternativa b

Answer 2

O perímetro do triângulo ABD, em cm, representado na figura abaixo é 5(2 + √2)(√3 + 1).

Observe que o triângulo retângulo ABD é isósceles. Sendo assim, podemos afirmar que o ângulo ABD mede 45º.

O ângulo DBC é suplementar a 45º, ou seja, DBC mede 180 - 45 = 135º.

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.

Então, o ângulo D mede:

D + 135 + 30 = 180

D + 165 = 180

D = 15º.

Veja o que diz a Lei dos Senos:

As medidas dos lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos ângulos opostos na mesma razão do diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo.

Sendo assim:

10/sen(15) = y/sen(30)

10.sen(30) = y.sen(15)

10.1/2 = y.(√6 - √2)/4

5.4 = y(√6 - √2)

20 = y.(√6 - √2)

y = 20/(√6 - √2)

y = 5√2 + 5√6.

Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABD, obtemos:

y² = x² + x²

y² = 2x²

y = x√2.

Assim, a medida x é:

5√2 + 5√6 = x√2

x = (5√2 + 5√6)/√2

x = 5 + 5√3.

Portanto, o perímetro do triângulo ABD é:

2P = 5 + 5√3 + 5 + 5√3 + 5√2 + 5√6

2P = 10 + 10√3 + 5√2 + 5√6

2P = 5(2 + √2)(√3 + 1).

Para mais informações sobre Lei dos Senos: https://brainly.com.br/tarefa/19018218