Question

Determine o perímetro do triângulo a ABD, em cm, representado na figura abaixo:

Answer 1

Considerando o triângulo ABC:

Perceba que nele os outros dois ângulos são de 45° pois se trata de um triângulo isósceles

Sen45=x/y
√2/2=x/y
2x=y√2
y=2x/√2
y=2x√2/2
y=x√2

Portanto o perímetro de ABD vale
2x+x√2
x(2+√2)

Agora vamos descobrir quanto vale x. Considerando agora ADC:
tg30=x/x+10
√3/3=x/x+10
3x=10√3+x√3
3x-x√3=10√3
x(3-√3)=10√3
x=10√3/3-√3

Agora vamos racionalizar a fração. Para isso, multiplicamos ela peso seu conjugado, no caso, 3+√3

(10√3/3-√3)(3+√3/3+√3)=
(10√3)(3+√3)/3²-(√3)²=
30√3+30/9-3=
30√3+30/6=5√3+5

Agora que sabemos x, podemos descobrir seu perimetro:

x(2+√2)=(5√3+5)(2+√2)=5(√3+1)(√2+2)

O que equivale a Alternativa B

Answer 2

O perímetro do triângulo a ABD é 5(2 + √ ̅2̅ )(√ ̅3̅  + 1). Alternativa B.

• A tangente de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a ele. Aplique esse conceito no triângulo ACD.

$\large \sf \dfrac{x}{x+10} = tg~30$  ⟹ Substitua o valor da tg 30°.

$\large \sf \dfrac{x}{x+10} = \dfrac {\sqrt 3}{3}$  ⟹ Multiplique em cruz.

$\large \sf 3x = \sqrt 3(x+10)$  ⟹ Multiplique ambos os membros por √ ̅3̅ .

$\large \sf 3\sqrt 3 \cdot x = 3(x+10)$  ⟹ Divida ambos os membros por 3.

$\large \sf \sqrt 3 \cdot x = x+10$  ⟹ Subtraia x de ambos os membros.

$\large \sf \sqrt 3 \cdot x-x=10$  ⟹ Fatore o primeiro membro.

$\large \sf x(\sqrt 3 -1)=10$  ⟹ Divida ambos os membros por √ ̅3̅ − 1.

$\large \sf x = \dfrac {10}{\sqrt3-1}$  ⟹ Multiplique numerador e denominador por √ ̅3̅ + 1.

$\large \sf x = \dfrac {10(\sqrt 3+1)}{3-1}$

$\large \sf x = 5(\sqrt 3+1)$

• Aplique o teorema de Pitágoras no triângulo ABD.

y² = x² + x²

y² = 2x² ⟹ Extraia a raiz quadrada de ambos os membros.

y = x⋅√ ̅2̅

• Determine o perímetro do triângulo a ABD.

P = 2x + y ⟹ Substitua o valor de y.

P = 2x + x⋅√ ̅2̅ ⟹ Fatore.

P = x(2 + √ ̅2̅ ) ⟹ Substitua o valor de x.

P = 5(√ ̅3̅  + 1)(2 + √ ̅2̅ )

O perímetro do triângulo a ABD é 5(√ ̅3̅  + 1)(2 + √ ̅2̅ ). Alternativa B.

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