Question

Determine o perimetro de um triangulo cujos lados são expressos em metros por 2x,x²+2 e x + 6 e formam nesta ordem uma PA

Answer 1

se é uma PA então

(x² + 2) - 2x = r         (I)
(x  + 6) - (x² + 2) = r  (II)

fazendo I - II

x² + 2 -2x -x - 6 +X² +2 = r-r

2x² -3x -2 =0
Δ= 25
x1= 2 
x2= -3/4 
Entretanto, não há lado negativo, entao X=2

substituindo temos:  

Lado 1 = 2x=4
lado 2 = x² + 2= 6
lado 3 = 8

Answer 2

Colocarei R como a razão:

$2x + R = x^2 + 2 \\ R = x^2 - 2x + 2 \\\\x^2 + 2 + R = x + 6 \\ R = -x^2 + x + 4 \\\\ Como~as~duas~partes~valem~R~podemos~igualar~elas:\\\\ x^2 - 2x + 2 = -x^2 + x + 4 \\ x^2 + x^2 -2x - x + 2 - 4 = 0 \\ 2x^2 -3x-2 = 0$

Para descobrirmos X, podemos usar Bhaskara:

$2x^2 -3x-2 = 0\\ ax^2 + bx + c = 0 \\\\ a = 2 \\ b = -3 \\ c = -2 \\\\ Resolvendo: \\\\ \Delta = b^2 -4.a.c \\ \Delta = (-3)^2 - 4.2.(-2) \\ \Delta = 9 + 16 \\ \Delta = 25 \\\\ x^+ = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2.a}\\\\ x^+ = \frac{-(-3) + \sqrt{25} }{2.2}\\\\ x^+ = \frac{3 + 5 }{4} \qquad \qquad\qquad x^-= \frac{3 - 5}{4} \\\\ x^+ = \frac{8}{4} \qquad \qquad\qquad~~~ x^-= \frac{-2}{4} \\\\ x^+ = 2 \qquad \qquad\qquad~~~ x^- = -0,5$

O triângulo que tem x = - 0,5  não existe, pois ao calcularmos seus lados teremos respostas negativas (e não existem lados negativos na geometria)

Então calcularemos todos os lados utilizando o x como 2:

$L_a = 2x = 2~.~2 = 4 \\\\ L_b = x^2 + 2 = 2^2 + 2 = 6 \\\\ L_c = x + 6 = 2 + 6 = 8$

Como ele pede o perímetro apenas temos que somar todos estes valores:

4 + 6 + 8 = 18 (metros)

Espero ter ajudado, qualquer coisa me pergunte :3