Determine o perímetro de cada polígono.
a) Um retângulo com área de 24 cm².
Lado maior com 3x/5+ 3 cm e lado menor com x – 1 cm.
b) Um triângulo retângulo com o lado oposto a hipotenusa = x + 3 cm
Hipotenusa = 2x + 3/2 cm
Base = x + 3/2 cm.
Soluções para a tarefa
a) Um retângulo com área de 24 cm².
Lado maior com 3x/5+ 3 cm e lado menor com x – 1 cm.
3x
Lado MAIOR = ------ + 3 ( comprimento)
5
Lado menor = x - 1 ( Largura)
FÓRMULA da àrea do retangulo
comprimento x Largura = Area
3x
(--------- + 3)(x - 1)= 24
5
3x 3x
----(x) - ---- (1) + 3(x) - 3(1) = 24
5 5
3x(x) 3x(1)
------- - --------- + 3x - 3 = 24
5 5
3x² 3x
----- - -------- + 3x - 3 = 24 ( soma com fração faz mmc = 5)
5 5
1(3x²) - 1(3x) + 5(3x) - 5(3) = 5(24)
----------------------------------------------- fração com igualdade (=)
5 despreza o denominador
1(3x²) - 1(3x) + 5(3x) - 5(3) = 5(24)
3x² - 3x + 15x - 15 = 120
3x² + 12x - 15 = 120 ( igualar a ZERO) atenção no sinal
3x² + 12x - 15 - 120 = 0
3x² + 12x - 135 = 0 equação do 2º grau
ax² + bx + c = 0
3x² + 12x - 135 = 0
a = 3
b = 12
c = - 135
Δ = b² - 4ac
Δ = (12)² - 4(3)(-135)
Δ = + 144 +1620
Δ = 1.764 -------------------------->√Δ = 42 ( porque √1764 = 42)
se
Δ> 0 ( duas raizes diferentes)
(baskara)
- b + - √Δ
x = -----------------
3
x' = - 12 - √1764/2(3)
x' = - 12 - 42/6
x' = -54/6
x' = - 9 ( desprezamos por NÃO satisfazer) NÚMERO NEGATIVO
e
x" = -12 + √1764/2(6)
x" = - 12 + 42/6
x" = + 30/6
x" = 5 (assim)
ACHAR as MEDIDAS do Lados
3x
Lado MAIOR = -------- + 3
5
3(5) 15
Lado Maior= -------- + 3 = -------+ 3 = 3 + 3 = 6
5 5
Lado MAIRO = 6 cm
Lado menor = x - 1
Lado meno = 5 - 1
Lado menor = 4 cm
PERIMETRO do retangulo = 2 Lado MAIOR + 2 Lado menor
Perimetro = 2(6cm) + 2(4cm)
Perimetro = 12cm + 8cm
Perimetro = 20 cm
b) Um triângulo retângulo com o lado oposto a hipotenusa = x + 3 cm
Hipotenusa = 2x + 3/2 cm
Base = x + 3/2 cm.
a = hipotenusa = 2x + 3/2
b = base = x + 3/2
c = oposto = x + 3
TEOREMA DE PITAGORAS
FÓRMULA
a² = b² + c²
(2x + 3/2)² = (x + 3/2)² + (x + 3)²
3 3 3 3
(2x + -----)(2x + ------) = (x + -----)(x + -------) + (x + 3)²
2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
2x(2x) + 2x(------) +(----)2x + -----x----- = x.x +x----- +----x +----x---- + (x + 3)²
2 2 2 2 2 2 2 2
2x(3) 3(2x) 3(3) x(3) 3(x) 3(3)
4x² + -------- + -------- + --------- = x² + -------- + -----+ ------- + (x + 3)²
2 2 2(2) 2 2 2(2)
6x 6x 9 3x 3x 9
4x² + -------- + ------ + ---------- = x² + -------- + ------+ ------- + (x + 3)²
2 2 4 2 2 4
12x 9 6x 9
4x² + --------- + ----- = x² + ------ + ------ + (x + 3)²
2 4 2 4
12x 9 6x 9
4x² + ------- + -------- = x² + ------- + ------ + (x + 3)(x + 3) SOMENTE final
2 4 2 4
(x² + 3x + 3x + 9)
( x² + 6x + 9) JUNTA tudo
12x 9 6x 9
4x² + ------ + ----- = x²+------- + ------ + x² + 6x + 9
2 4 2 4
9 9
4x² + 6x + ------- = x² + 3x + ------- + x² + 6x + 9 ( fração faz mmc = 4)
4 4
4(4x² + 6x) + 1(9) = 4(x² + 3x) + 1(9) + 4(x² + 6x + 9)
--------------------------------------------------------------------------
4 fração com (=)igualdade despreza o
denominadro
4(4x² + 6x) +1(9) = 4(x² + 3x) + 1(9) + 4(x² + 6x + 9)
16x² + 24x + 9 = 4x² + 12x + 9 + 4x² + 24x + 36 junta iguais
16x² + 24x + 9 = 4x² + 4x² + 12x + 24x + 9 + 36
16x² + 24x + 9 = 8x² + 36x+ 45 ( igualar a zero) atenção no SINAL
16x² + 24x + 9 - 8x² - 36x - 45 = 0 junta iguais
16x² - 8x² + 24x - 36x + 9 - 45 = 0
8x² - 12x - 36 = 0 equação do 2º grau
8x² - 12x - 36 = 0
a = 8
b = - 12
c = - 36
Δ = b² - 4ac
Δ = (-12)²- 4(8)(-36)
Δ =+ 144 + 1152
Δ = 1296 ------------------------>√Δ = 36 ( porque √1296 = 36)
se
Δ > 0 (DUAS RAIZES DIFERENTES)
(baskara)
- b + - √Δ
x = --------------------
2a
x' = -(-12)² - √1296/2(8)
X' = + 12 - 36/16
x' = -24/16 DESPREZAMOS POR ser negativo
E
x" = - (-12) + √1296/2(8)
x" = + 12 + 36/16
x" = 48/16
x = 3 ( assim)
hipotenusa = 2x + 3/2
hipotenusa = 2(3) + 3/2
hipotenusa = 6 + 1,5
hipotenusa = 7,5 cm
base = x + 3/2
base = 3 + 3/2
base = 3 + 1,5
base = 4,5 cm
oposto = x + 3
oposto = 3 + 3
oposto = 6
Perimetro = Hipotenusa + base + oposto
Perimetro = 7,5 + 4,5 + 6
Perimetro = 18 cm
Os perímetros de cada polígono são: a) 20 cm; b) 38 cm.
É importante lembrarmos que perímetro é igual à soma de todos os lados de uma figura.
a) Aqui temos um retângulo de dimensões iguais a x - 1 e 3x/5 + 3. Sendo assim, o perímetro é igual a:
2P = (x - 1) + (x - 1) + (3x/5 + 3) + (3x/5 + 3)
2P = 2x + 6x/5 + 4
2P = 16x/5 + 4.
Precisamos encontrar o valor de x. Para isso, o exercício nos informa que a área do retângulo é igual a 24 cm².
A área de um retângulo é igual ao produto do comprimento pela largura. Dito isso:
24 = (x - 1)(3x/5 + 3)
24 = 3x²/5 + 3x - 3x/5 - 3
24 = 3x²/5 + 12x/5 - 3
3x²/5 + 12x/5 - 27 = 0
3x² + 12x - 135 = 0
x² + 4x - 45 = 0.
Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:
Δ = 4² - 4.1.(-45)
Δ = 16 + 180
Δ = 196
.
Observe que x não pode ser igual a -9. Portanto, x = 5 e o perímetro é:
2P = 16.5/5 + 4
2P = 16 + 4
2P = 20 cm.
b) As dimensões do triângulo são x + 3, 2x + 3/2 e x + 3/2. Então, o perímetro é igual a:
2P = (x + 3) + (2x + 3/2) + (x + 3/2)
2P = 4x + 6.
Temos a informação de que a área do triângulo é igual a 27/2 cm².
Sabendo que a área de um triângulo é igual à metade do produto da base pela altura, obtemos:
27/2 = (x + 3/2).(x + 3).1/2
27 = x² + 3x + 3x/2 + 9/2
x² + 9x/2 - 45/2 = 0
2x² + 9x - 45 = 0.
Utilizando a fórmula de Bhaskara:
Δ = 9² - 4.2.(-45)
Δ = 81 + 360
Δ = 441
.
Note que o valor de x não pode ser negativo. Então, podemos concluir que x = 8 e o perímetro é:
2P = 4.8 + 6
2P = 38 cm.
Exercício sobre perímetro: https://brainly.com.br/tarefa/17995969
