Determine o oitavo termo da PA (9,14,19...)
Soluções para a tarefa
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da sequência (9, 14, 19,...), tem-se:
a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;
b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:9
c)oitavo termo (a₈): ?
d)número de termos (n): 8 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 8ª), equivalente ao número de termos.)
e)Embora não se saiba o valor do oitavo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos de crescem e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante negativo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 14 - 9 ⇒
r = 5 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o oitavo termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₈ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₈ = 9 + (8 - 1) . (5) ⇒
a₈ = 9 + (7) . (5) ⇒ (Veja a Observação 2.)
a₈ = 9 + 35 ⇒
a₈ = 44
Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).
Resposta: O oitavo termo da P.A.(9, 14, 19, ...) é 44.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₈ = 44 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o oitavo termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₈ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
44 = a₁ + (8 - 1) . (5) ⇒
44 = a₁ + (7) . (5) ⇒
44 = a₁ + 35 ⇒ (Passa-se 35 ao 1º membro e altera-se o sinal.)
44 - 35 = a₁ ⇒
9 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 9 (Provado que a₈ = 44.)
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O termo 8 da progressão aritmética é igual a 44.
Progressão Aritmética
Uma progressão aritmética é uma sequência em que os termos estão sempre equidistantes um dos outros, ou seja, o termo seguinte será igual ao anterior somado de uma razão.
É possível determinar qualquer termo da progressão pela fórmula:
aₙ = a₁ + (n-1) ⋅ r,
onde:
- a₁ é o primeiro termo;
- n é a posição do termo;
- r é a razão.
A razão pode ser obtida a partir da diferença entre dois termos consecutivos:
- 14 - 9 = 5
- 19 - 14 = 5
Portanto, o primeiro termo é igual a 9 e a razão é igual a 5. Assim, substituindo os valores é possível obter o termo 8:
a8 = 9 + (8 - 1) * 5
a8 = 9 + 7 * 5
a8 = 9 + 35
a8 = 44
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