Question

determine o número real x que satisfaça a igualdade ;

(2 2x - 12) = (2 - 2x + 8)
3 3 3 3 ) ​

Answer 1

Resposta:

Espero ter ajudado de 5 estrelas pra ajudar .

Explicação passo-a-passo:

Boa tarde.

Vamos usar a definição de logaritmos:

\boxed{\boxed{\mathsf{log_a b = c\iff a^c = b}}}

log

a

b=c⟺a

c

=b

$$\mathsf{log_2(12-2^x)=2x\iff 2^{2x}=12-2^x,\ \ x\ \textless \ log_2{12}}}$$

Note que coloquei a condição de existência do logaritmo. Hoje em dia poucos vestibulares vão querer que você valide as soluções de uma equação logarítmica, mas é sempre bom saber que o logaritmando deve ser positivo.

$$\begin{gathered}\mathsf{(2^x)^2=12-2^x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{tomamos } \ 2^x=y\\ \\ \mathsf{y^2=12-y} \\ \\ \mathsf{y^2+y-12=0}\end{gathered}$$

Poderíamos usar a fórmula de Bháskara, mas é mais simples notarmos que 3 e -4 tem soma -1 e produto -12, e por isso satisfazem à equação em y, sendo y' = 3 e y'' = -4. Agora voltamos para a variável inicial:

$$\begin{gathered}\mathsf{2^x = y}\\ \\ \mathsf{2^x = 3 \ \ \ ou \ \ \ \underbrace{2^x = -4}_{imposs\acute i vel}}\\ \\ \\ \mathsf{2^x = 3}\\ \\ \mathsf{log_22^x = log_23}\\ \\ \boxed{\mathsf{x=log_23}}\end{gathered}$$

Note que $$\mathsf{log_23\ \textless \ log_212}$$ , então nossa solução está dentro do domínio!

Alternativa E.