Question

determine o numero real K,positivo,de modo que a equação x²+kx+289=0 admita apenas uma raiz real

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Duda, que a resolução é simples.
Pede-se para determinar o valor do número real "k", positivo, de modo que a equação abaixo admita uma única raiz real (ou seja, na verdade são duas raízes reais, mas de valores iguais).

x² + kx + 289 = 0

Veja: para que uma equação do 2º grau tenha duas raízes reais e iguais, então o seu delta (b²-4ac) deverá ser igual a zero. Então vamos impor que o delta da equação acima (k²-4*1*289) seja igual a zero. Assim:

k² - 4*1*289 = 0
k² - 1.156 = 0
k² = 1.156 ------ ou:
k = +-√(1.156) -------- note que √(1.156) = 34. Assim:
k = +- 34 ----- note que "k" poderá ser mais ou menos "34". Mas como está informado que "k" deverá ser um número real positivo, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

k = 34 <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.