Question

Determine o número de polígonos regulares que existem, tais que quaisquer de suas diagonais que passam pelo seu centro formam entre si um ângulo expresso em graus por número inteiro.

Answer 1

Resposta:

Infinitos polígonos regulares satisfazem a condição.

Explicação passo a passo:

Partindo da premissa de que não existem polígonos regulares cujo número de lados seja ímpar tais que exista uma diagonal que passe por seu centro, basta calcularmos a metade do ângulo interno do polígono nos utilizando da fórmula da soma dos ângulos internos $180\left(n-2\right)$, onde $n$ é o número de lados e a dividindo por $2$, nos deixando com $\left(\frac{180\left(n-2\right)}{2}\right)^{\circ}$. Como $n$ deve ser par, podemos escrever$\left(\frac{180\left(2n-2\right)}{2}\right)$. Simplificando, temos $\left(\frac{360n-360}{2}\right)$, que podemos escrever como $180n-180$. Como sabemos, a diferença entre pares não altera a "paridade" do resultado, e não existe nenhum $n$ que satisfaça $\left(180n-180\right)\notin\mathbb{Z}$. Logo, existem infinitos polígonos regulares tais que existem diagonais que cruzam o centro e o ângulo em graus pode ser representado como um número inteiro.