Determine o número de pares (x,y) de inteiros positivos tais que x2−y2=2^20.
Soluções para a tarefa
Perceba que x² - y² é uma diferença de quadrados.
Então, podemos reescrever a equação x² - y² = 2²⁰ da seguinte maneira:
(x + y)(x - y) = 2²⁰.
O número 2²⁰ possui 21 divisores positivos. São eles:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288 e 1048576.
Perceba que queremos dois números inteiros positivos cuja multiplicação resulta em 2²⁰.
Sendo assim, temos as seguintes possibilidades:
1.1048576
2.524288
4.262144
8.131072
16.65536
32.32768
64.16384
128.8192
256.4096
512.2048
1024.1024
Perceba que a única multiplicação que não será satisfeita será a 1.1048576, pois:
x + y = 1
x - y = 1048576
Somando as duas equações:
2x = 1048577
x = 524288,5 → x não é um número inteiro.
Portanto, existem 10 pares de inteiros positivos que satisfazem a equação x² - y² = 2²⁰.