Question

determine o numero complexo z, tal que: z²=i

Answer 1

z = a + bi → z na forma cartesiana
z² = r² (cos2α + i sen2α) → forma polar de z² 
r → módulo → r = √a² + b² 
α → argumento :
cosα = a/r ;
senα = b/r :

Se z² = i
|z²| = √0² + 1 = 1 → modulo de z²
▲ cos2α = 0 ↔ cos2α = cos(π/2 + kπ) ↔ 2α = π/2 + kπ ↔ α = π/4 + kπ/2, com k ∈ Z
▲ sen2α = 1 ↔ sen2α = sen(π/2 + 2kπ) ↔ 2α = π/2 + 2kπ ↔ 
↔ α = π/4 + kπ para k ∈ Z 

Observação: os arcos da forma α = π/4 + kπ/2 devem ser descartados da resposta pois 2α = π/2 + kπ e, por assim ser, a exemplo sen[(3/2)π] = -1 e nos levaria a z² = -i 

Portanto o argumento conveniente nesse caso é α = π/4 + kπ para k ∈ Z 

▲ z = r (cosα + i senα) = [cos(π/4 + kπ) + i sen(π/4 + kπ)]

▲ z =  [cos(π/4 + kπ) + i sen(π/4 + kπ)]  com k ∈ Z

Vamos verificar se z corresponde ao que o examinador nos pede?

z² = 1²(cos[2(π/4 + kπ)] + i sen[2(π/4 + kπ)] 

z² = 1(cos[(π/2 + 2kπ)] + i sen[(π/2 + 2kπ)] = 0 + i * 1 = i

z² = i (Verdade!)

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Obrigado pela oportunidade 
Boa sorte, bons estudos!
SSRC - 2015 
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