Determine o momento de inércia em torno do eixo x do objeto planar que ocupa a região definida por S e tem uma densidade de massa superficial δ ( x , y ) = 3 y . Sabe-se que S = { ( x , y ) / 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x 2 }
Soluções para a tarefa
Resposta:
Olá, bom dia.
https://brainly.com.br/tarefa/40767412
Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.
Queremos determinar a massa de uma lâmina que ocupa a região definida por e tem uma densidade de massa superficial . Sabe-se que a região é definida por .
Primeiro, lembre-se que a massa de uma lâmina que ocupa uma região no plano cuja densidade de massa superficial é dada pela função , sendo compreendida entre duas funções e em um intervalo é calculada pela integral dupla: .
Assim, a massa da lâmina que ocupa a região será calculada pela integral:
Devemos calcular primeiro a integral interna, em respeito à variável , em que as outras variáveis são consideradas constantes.
Para resolver a integral, lembre-se que:
A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: .
A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: .
A integral definida de uma função contínua em um intervalo fechado é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: , em que é a antiderivada de .
Aplique a regra da soma
Aplique a regra da constante
Aplique a regra da potência, lembrando que e
Some os valores nos expoentes e denominadores e multiplique os termos
Aplique os limites de integração
Calcule as potências, multiplique e some os termos
Aplique a regra da constante
Aplique a regra da potência
Some os valores no expoente e denominador e multiplique os termos
Aplique os limites de integração
Calcule as potências, multiplique e some os termos
Esta é a massa da lâmina que ocupa a região e é a resposta contida na letra e).
Explicação passo a passo:
Resposta:
1/4
Explicação passo a passo: