Question

Determine o módulo, o argumento e a representação geometrica dos numeros complexos:
a. z=2+2i
b.z=raiz de 3-i
c. z=4i
d. z=3+3i
e. z= -5

Answer 1

Olá.
Lembre-se de que:

$\boxed{\mathsf{\rho = \sqrt{a^{2} + b^{2}}}} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{\cos \theta = \dfrac{a}{\rho}}} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{\sin \theta = \dfrac{b}{\rho}}}$

a) z = 2 + 2i

$\mathsf{\sqrt{2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}} \\\\\\\mathsf{\cos \theta = \dfrac{2}{2 \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}} \\ \\ \\ \mathsf{\sin \theta = \dfrac{2}{2 \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow \theta = \dfrac{\pi}{4}}$

b) z = √ 3 - i

$\mathsf{\rho = \sqrt{(\sqrt{3})^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = 2} \\ \\ \\ \mathsf{\cos \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \\ \\ \\ \mathsf{\sin \theta = \dfrac{-1}{2} \rightarrow \theta = \dfrac{11 \pi}{6}}$

c) z = 4i

$\mathsf{\rho = \sqrt{4^{2}} = 4} \\ \\ \\ \mathsf{\cos \theta = \dfrac{0}{4} = 0} \\ \\ \\ \mathsf{\sin \theta = \dfrac{4}{4} = 1 \rightarrow \theta = \dfrac{\pi}{2}}$

d) z = 3 + 3i

$\mathsf{\rho = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}} \\ \\ \\ \mathsf{\cos \theta = \dfrac{3}{3\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}} \\ \\ \\ \mathsf{\sin \theta = \dfrac{3}{3\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow \theta = \dfrac{\pi}{4}}$

e) z = -5

$\mathsf{\rho = \sqrt{(-5)^{2}} = 5} \\ \\ \\ \mathsf{\cos \theta = \dfrac{0}{5} = 0} \\ \\ \\ \mathsf{\sin \theta = \dfrac{-5}{5} = -1 \rightarrow \theta = \dfrac{3\pi}{2}}}$

Para fazer a representação geométrica de um número complexo, basta fazer um plano cartesiano onde o eixo das abcissas (x) representa a parte real de z e o eixo das ordenadas (y) representa a parte imaginária de y.

No plano, o argumento será representado pelo ângulo formado entre o  módulo e o eixo x do primeiro quadrante. Há um exemplo nos anexos.

Bons estudos.