Question

Determine o menor valor inteiro positivo de x que satisfaz a inequação:
$\frac{ (x-1)^{10}. (6+3x)^{11} }{x-2} \geq 0$

Answer 1

Resolver a inequação do tipo quociente

     $\mathtt{ \dfrac{ (x-1)^{10}. (6+3x)^{11} }{x-2} \geq 0}\qquad \mathtt{com\ x \neq 2}$

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•     Vamos analisar o numerador começando pelo primeiro fator

     $\mathtt{(x-1)^{10} \geq 0}$


Potências com expoente positivo sempre dão resultado positivo, logo

     $\mathtt{x \in \mathbb{R}}$


Se o fator for igual a zero, temos que

     $\mathtt{x-1=0}$

     $\mathtt{x=1}$


Obs: se esse fator der zero toda a inequação vai zerar, todo o resto vai zerar. Portanto 1 já faz parte da solução

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•     Analisando o segundo fator do numerador

     $\mathtt{(6+3x)^{11} \geq 0}$


Como o expoente é negativo, para ser maior que zero o que está dentro do parênteses precisa ser maior que zero

     $\mathtt{6+3x \geq 0}$

     $\mathtt{3x \geq -6}$

     $\mathtt{x \geq - \dfrac{6}{3} }$

     $\mathtt{x \geq -2}$

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•     Analisando o denominador

     $\mathtt{x-2 \geq 0}$

     $\mathsf{x\ \textgreater \ 2}$

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•      Fazendo a análise dos sinais

$\begin{array}{cc} \mathtt{N^{1}}~&~\mathtt{{\ }^{-\infty} \ \underline{-------}\underset{2}{\circ}\underline{++++}{\ }^{+\infty}}\\\\ \mathtt{N^{2}}~&~ \mathtt{{\ }^{-\infty}\underline{+++++}\underset{1}\bullet\underline{++++++}{\ }^{+\infty}}\\\\ \mathtt{D}~&~\mathtt{{\ }^{-\infty}\underline{--}\underset{-2}\bullet\underline{+++++++++}{\ }^{+\infty}}\\\\\\ \mathtt{Q}~&~\mathtt{{\ }^{-\infty}\underline{++}\underset{-2} \bullet \underline{--}\underset{1}\bullet\underline{--}\underset{2}{\circ}\underline{++++}{\ }^{+\infty}} \end{array}$


     $\mathtt{S=(-\infty,-2]\ \cup \ (2,+\infty) \ \cup \ \{1\}}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :)