Question

Determine o menor valor de n, n ∈ N, para o qual n (√3+i)^n é:

A)Real e positivo.
B)Real e negativo.
C)Imaginário puro.

Answer 1

Resposta:

a) n = 0

b) n = 6

c) n = 3

Explicação passo-a-passo:

a) Para que a expressão seja real e positiva, o menor valor que n pode adotar é o 0, visto que qualquer número elevado a 0 é igual a 1.

$(\sqrt{3}+i)^{0}=1$

∴ n = 0

b) $z=(\sqrt{3}+i)^{n}$

Transformando o número complexo para sua forma trigonométrica:

$a=\sqrt{3}$

$b=1$

$p=\sqrt{\sqrt{3}^{2}+1^{2}}$

$p=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$

$sen\theta =\frac{1}{2} ,cos\theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta =\frac{\pi }{6}$

$z=2.(cos\frac{\pi }{6}+i.sen\frac{\pi }{6})$

Como queremos que o número complexo seja real, isso significa que a parte complexa deverá ser igual a 0. Como sen$\pi$ = 0, então n = 6, para que o o $\frac{\pi }{6}$ seja simplificado para

$z=2^{6}.(cos(6\frac{\pi }{6})+i.sen(6.\frac{\pi }{6})$

$z=64.(cos\pi +i.sen\pi)$

$z=64.(-1 + 0)$

$z=-64$

∴ n = 6

c) Para que um número seja imaginário puro, a parte real do número complexo deverá ser igual a zero. Vamos partir direto da forma trigonometria do número:

$z=2.(cos\frac{\pi }{6}+i.sen\frac{\pi }{6})$

Para que a parte real seja igual 0, n = 3, visto que, no desenvolvimento, dará o $\theta=\frac{\pi }{2}$, que possui cosseno igual a 0 e seno igual a 1.

$z=2^{3}.(cos(3.\frac{\pi }{6})+i.sen(3.\frac{\pi }{6})$

$z=8.(cos(\frac{\pi }{2})+i.sen(\frac{\pi }{2})$

$z=8.(0+i.1)$

$z=8i$

∴ n = 3