Question

determine o menor numero que dividido por 11,12 e 16 deixa, respectivamente, os restos 5,6 e 10.

Answer 1

Para facilitar a compreensão, vamos começar por outro exemplo.

Neste exemplo inicial, vamos imaginar que o numero procurado, ao ser dividido por 11, 12 e 16, deixa resto 0 ou, em outras palavras, esse numero é divisível simultaneamente por 11, 12 e 16.

O enunciado seria: "determine o menor numero que dividido por 11, 12 e 16 deixa resto 0."

Se o numero é divisível por 11, 12 e 16, então ele será divisível pelos múltiplos comuns de 11, 12 e 16. Como queremos o menor numero possível, podemos então utilizar o MMC para isso:

$11~,~12~,~16~|~2\\11~,~~\,6~,~~\,8~|~2\\11~,~~\,3~,~~\,4~|~2\\11~,~~\,3~,~~\,2~|~2\\11~,~~\,3~,~~\,1~|~3\\11~,~~\,1~,~~\,1~|~11\\~~\,1~,~~\,1~,~~\,1~|~~\checkmark\\\\MMC(11,12,16)~=~2~.~2~.~2~.~2~.~3~.~11\\\\MMC(11,12,16)~=~528$

Logo, o menor numero que, dividido por 11, 12 e 16, deixa resto 0 é o numero 528.

Certo, mas como isso pode nos ajudar na questão proposta?

Como o resto das divisões não é 0, o numero não é divisível por 11, 12 e 16, não podemos diretamente utilizar o MMC.

O que vamos fazer é modelar/arranjar as informações do enunciado de tal forma a "transformar" a questão em algo parecido com o que fizemos acima.

Vamos chamar o numero que estamos procurando de "x".

--> "x" dividido por 11 deixa resto 5.

$\frac{x}{11}~\rightarrow Resto=5$

Perceba que falta (11-5)=6 para que "x" seja divisível por 11, ou seja, tenha resto 0.

$\frac{x+6}{11}~\rightarrow Resto=0$

Note que transformamos a divisão com resto para uma divisão exata e continuamos tendo o "x".

--> "x" dividido por 12 deixa resto 6.

$\frac{x}{12}~\rightarrow Resto=6$

Perceba que falta (12-6)=6 para que "x" seja divisível por 12, ou seja, tenha resto 0.

$\frac{x+6}{12}~\rightarrow Resto=0$

--> "x" dividido por 16 deixa resto 10.

$\frac{x}{12}~\rightarrow Resto=6$

Perceba que falta (16-10)=6 para que "x" seja divisível por 16, ou seja, tenha resto 0.

$\frac{x+6}{16}~\rightarrow Resto=0$

Note que agora temos uma questão igual ao 1° exemplo que resolvemos, temos um numero (x+6) que é divisivel por 11, 12 e 16.

Queremos, então, um multiplo comum de 11, 12 e 16, que seja o menor possível e que sabemos valer (x+6).

O menor múltiplo comum entre 11, 12 e 16 já foi feito, vale 528.

Como esse MMC deve ser igual a (x+6):

$x+6~=~528\\\\\\x~=~528-6\\\\\\\boxed{x~=~522}$

Resposta: 522