Question

Determine o menor número natural n que,ao ser dividido por 10,deixa resto 9; ao ser dividido por 9, deixa reto 8; ao ser dividido por 8 , deixa resto 7 e,ao ser dividido por 2,deixa resto 1

Answer 1

Resposta: 359.

Explicação passo-a-passo:

    Afirmação: Sejam dois números inteiros positivos n, m. Então n dividido por m deixa resto m − 1 se, e somente se, n + 1 é múltiplo de m.

   

    De fato,

    n dividido por m deixa resto m − 1

    ⇔   n = m · q + (m − 1),   para algum q inteiro.

    ⇔   n + 1 = m · q + m

    ⇔   n + 1 = m · (q + 1)

    ⇔   n + 1 é múltiplo de m.

Sendo assim, segue que se

    n dividido por 10 deixa resto 9,

    n dividido por 9 deixa resto 8,

    n dividido por 8 deixa resto 7, e

    n dividido por 2 deixa resto 1,

então, n + 1 é simultaneamente múltiplo de 10, 9, 8, e 2.

Portanto, n + 1 é múltiplo de mmc(10, 9, 8, 2) = 360:

    ⇔   n + 1 = 360 · k

    ⇔   n = 360 · k − 1

com k inteiro positivo.

Para k = 1, encontramos o menor natural com as propriedades do enunciado:

    n = 360 · 1 − 1 = 359    ←    resposta.

Bons estudos! :-)