Question

Determine o menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio analógico às 3hs e
35min?

Answer 1

Vamos calcular a velocidade angular de cada ponteiro.

O ponteiro dos minutos completa uma volta inteira no relógio a cada 60 minutos. Ou seja, ele percorre 360 graus em 60 minutos.

Isso quer dizer que a velocidade desse ponteiro é de  $360^{\circ}\div 60\text{min}=6^{\circ}/\text{min}$

Já o ponteiro das horas completa uma volta inteira a cada 12 horas. Perceba que se é meia-noite, o ponteiro das horas só voltará a estar sobre o número 12 ao meio-dia.

Isso quer dizer que ele percorre 360 graus em 12 x 60 = 720 minutos.

Com isso a velocidade desse ponteiro é de  $360^{\circ}\div720\text{min}=0.5^{\circ}/ \text{min}$

Quando o relógio marca 3:35, o ponteiro dos minutos aponta para o número 7 e o das horas está um pouquinho abaixo do número 3.

Mas quanto vale esse pouquinho?

Imagine que o ponteiro das horas não se movesse, ele ficasse parado apontando para o número 3.

Nessa situação, qual o ângulo entre o número 3 e o número 7?

O relógio é dividido em 12 partes. E cada parte corresponde a $360^{\circ} \div 12 = 30^{\circ}$

Entre o número 3 e o número 7 existem quatro dessas partes. Ou seja, o ângulo entre o número 3 e o número 7 é de $4\times 30^\circ = 120 ^\circ$.

Essa poderia ser a nossa resposta, mas lembre-se que esse é o caso onde o ponteiro das horas não se move.

Na situação real, o ponteiro das horas se moveu durante 35 minutos, ficando abaixo do número 3.

Quantos graus o ponteiro das horas se moveu?

A velocidade do ponteiro das horas é de $0.5^\circ / \text{min}$ . Então em 35 minutos ele terá percorrido:

$0.5^\circ / \text{min}\times 35\text{min}=17.5^\circ$

Esse valor de 17.5 graus deve ser subtraído dos 120 graus que a gente tinha achado.

Logo o ângulo formado pelos ponteiros será de $120^\circ -17.5^\circ = \boxed{102.5^\circ}$