Question

Determine o Máximo e Mínimo local de *
f(x) = 2x³ – 3x² – 12x + 3


A) 10;18
B) -17; 10
C) -17; 0
D) -10;17
E) 17; - 10​

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = 2 {x}^{3} - 3x {}^{2} - 12x + 3$

Para encontrarmos os máximos e mínimos locais, usaremos o teste da derivada segunda, ou seja, vamos iniciar derivando duas vezes:

$\sf d erivada \: primeira \\ f ' (x) = 6x {}^{2} - 6x - 12 \\ \sf derivada \: segunda \\ f"(x) = 12x - 6 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores que anulam a derivada primeira:

$f'(x) = 0 \longrightarrow 6x {}^{2} - 6x - 12 = 0 \\ \begin{cases}x_1 = 2 \\x_2 = - 1\end{cases}$

Por fim devemos substituir os pontos críticos na derivada segunda e observar o sinal.

$\sf para \: x = 2 \\f"(2) = 12.2 - 6 \\ f"(2) = 18 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf para \: x = - 1 \\ f"( - 1) = 12.( - 1) - 6 \\ f"( - 1) = - 18 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Lembrando que:

$f"(x) > 0 \to minimo \: \: e \: \: f"(x) < 0 \to maximo$

Então podemos dizer que:

$x = 2 \to minimo \: \: \: e \: \: \: x = - 1 \to maximo$

Espero ter ajudado