Question

Determine o máximo e mínimo locais, por meio do teste da segunda derivada, de f(x)=x³-3x²-9x+7

Answer 1

$f\left(x\right)=x^{3}-3x^{2}-9x+7\\ \\ f'\left(x\right)=3x^{2}-6x-9\\ \\ f''\left(x \right )=6x-6$

1) Encontrar os pontos críticos da função $f$:

$f'\left(x\right)=0\\ \\ \\ 3x^{2}-6x-9=0\\ \\ 3\cdot \left(x^{2}-2x-3 \right )=0\\ \\ x^{2}-2x-3=0\\ \\ x^{2}+x-3x-3=0\\ \\ x\cdot \left(x+1\right)-3\cdot \left(x+1 \right )=0\\ \\ \left(x+1\right)\cdot \left(x-3\right)=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x+1=0&\text{ ou }&x-3=0 \end{array}\\ \\ \boxed{ \begin{array}{rcl} x=-1&\text{ ou }&x=3 \end{array} }$


2) Verificar o sinal da segunda derivada de $f$ nos pontos críticos.

$\bullet\;\;$ Se $f''\left(x \right )>0$ no ponto crítico, então $f$ tem um mínimo local naquele ponto;

$\bullet\;\;$ Se $f''\left(x \right )<0$ no ponto crítico, então $f$ tem um máximo local naquele ponto.


$\bullet\;\;$ Para o ponto $x=-1$, temos

$f''\left(-1 \right )=6 \cdot \left(-1\right)-6\\ \\ f''\left(-1 \right )=-6-6\\ \\ f''\left(-1 \right )=-12<0$


Logo, $f$ tem um máximo local em $x=-1$.


$\bullet\;\;$ Para o ponto $x=3$, temos

$f''\left(3 \right )=6 \cdot \left(3\right)-6\\ \\ f''\left(-1 \right )=18-6\\ \\ f''\left(-1 \right )=12>0$


Logo, $f$ tem um mínimo local em $x=3$.