Determine o maior valor natural de n para qual o f(x) = x^5-2x^4+x^3-x^2+2x-1 e divisivel por (x-1)^n.
Soluções para a tarefa
Resposta:
para que o polinomio seja divisivel por x-1 ao menos uma vez então 1 deve ser raiz do polinomio
fatorando por (x-1)
1 também deve ser raiz deste polinômio para que o mesmo seja divisível por x-1
o polinômio não pode mais ser dividido por x-1
então n=2
Explicação passo-a-passo:
Exemplo 1
Calcule o resto da divisão (x2 + 3x – 10) : (x – 3).
Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a:
P(3) = R
32 + 3 * 3 – 10 = R
9 + 9 – 10 = R
18 – 10 = R
R = 8
Portanto, o resto dessa divisão será 8.
Exemplo 2
Verifique se x5 – 2x4 + x3 + x – 2 é divisível por x – 1.
Segundo D’Alembert, um polinômio é divisível por um binômio se P(a) = 0.
P(1) = (1)5 – 2*(1)4 + (1)3 + (1) – 2
P(1) = 1 – 2 + 1 + 1 – 2
P(1) = 3 – 4
P(1) = – 1
Como P(1) é diferente de zero, o polinômio não será divisível pelo binômio x – 1.
Exemplo 3
Calcule o valor de m de modo que o resto da divisão do polinômio
P(x) = x4 – mx3 + 5x2 + x – 3 por x – 2 seja 6.
Temos que, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6
P(2) = 24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3
24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3 = 6
16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6
– 8m = 6 – 38 + 3
– 8m = 9 – 38
– 8m = – 29
m = 29/8
Exemplo 4
Calcule o resto da divisão do polinômio 3x3 + x2 – 6x + 7 por 2x + 1.
R = P(x) → R = P(– 1/2)
R = 3*(–1/2)3 + (–1/2)2 – 6*(–1/2) + 7
R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8