Question

determine o maior valor inteiro de k para que a equação x2+y2+6x+14y+k=0 seja de uma circunferência

Answer 1

A circunferência pode ser descrita conforme sua equação reduzida, que possui a seguinte fórmula:

$(x-x_{0} )^{2}+(y-y_{0} )^{2}=R^{2}$

onde o par (Xo,Yo) é o centro da circunferência e R é o raio. Note que na equação do enunciado, os binômios já foram abertos. Quando temos um binômio de segundo grau, na forma (a-b)², temos o seguinte resultado ao abri-los:

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

Desse modo, podemos determinar o centro da circunferência, dividindo os coeficientes 6x e 14y por -2:

$x_{0} =\frac{6}{(-2)} =-3\\ \\ y_{0} =\frac{14}{(-2)} =-7$

Contudo, ao ter esses termos no binômio, eles também seriam elevados ao quadrado, gerando a seguinte soma:

$(-3)^{2}+(-7)^{2}=9+49=58$

Então, devemos subtrair esse valor da equação:

$(x+3)^{2}+(y+7)^{2}+k-58=0$

Agora, devemos isolar os termos independentes, que serão equivalentes ao raio da circunferência:

$(x+3)^{2}+(y+7)^{2}=58-k$

Note que, conforme a equação reduzida da circunferência, no lado direito da equação temos o raio ao quadrado. Por consequência, ele deve ser um valor maior que zero. Desse modo, temos a seguinte relação para k:

$58-k>0\\ \\ k<58$

Logo, k deve assumir um valor menor que 58 para que essa seja a equação de uma circunferência. Portanto, o maior número inteiro que k pode assumir é:

$k=57$