Question

Determine o maior número natural que ao ser fatorado possui os fatores 2, 3 e 5 e 30 divisores naturais

Answer 1

Estamos procurando um número natural $n$, de forma que a forma fatorada de $n$ seja

$n=2^{a}\cdot 3^{b} \cdot 5^{c}$

onde $a,\,b,\,c \in \mathbb{N}$ são os expoentes de cada fator primo de $n$

e $n$ deve possuir $30$ divisores naturais.


A quantidade dos divisores naturais de $n$ é igual ao produto dos sucessores dos expoentes de todos os fatores primos de $n$, ou seja, $n$ possui

$\left(a+1 \right )\cdot \left(b+1 \right )\cdot \left(c+1 \right )$

divisores naturais.


Então, devemos ter

$\left(a+1 \right )\cdot \left(b+1 \right )\cdot \left(c+1 \right )=30$


Decompondo o $30$ em fatores primos, encontramos

$\left(a+1 \right )\cdot \left(b+1 \right )\cdot \left(c+1 \right )=2\cdot 3 \cdot 5$


Como queremos o maior número $n$ para o qual a sentença acima é verdadeira, então atribuímos o maior expoente ao maior fator de $n$. Sendo assim, temos

$a+1=2\;\;\Rightarrow\;\;a=1\\ \\ b+1=3\;\;\Rightarrow\;\;b=2\\ \\ c+1=5\;\;\Rightarrow\;\;c=4$


O número $n$ procurado é

$n=2^{1}\cdot 3^{2}\cdot 5^{4}\\ \\ n=11\,250$