DETERMINE O MAIOR DENTRE OS NÚMEROS ∛₃ E ⁴√₄ :
Soluções para a tarefa
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Podemos resolver isso utilizando logaritmos:
![x=log~\sqrt[3]{3}\\\\x=log~3^{1/3}\\\\x=\frac{1}{3}\cdot log~3](https://tex.z-dn.net/?f=x%3Dlog%7E%5Csqrt%5B3%5D%7B3%7D%5C%5C%5C%5Cx%3Dlog%7E3%5E%7B1%2F3%7D%5C%5C%5C%5Cx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot+log%7E3 "x=log~\sqrt[3]{3}\\\\x=log~3^{1/3}\\\\x=\frac{1}{3}\cdot log~3")
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![y=log~\sqrt[4]{4}\\\\y=log~(2^{2})^{1/4}\\\\y=\frac{1}{2}\cdot log~2](https://tex.z-dn.net/?f=y%3Dlog%7E%5Csqrt%5B4%5D%7B4%7D%5C%5C%5C%5Cy%3Dlog%7E%282%5E%7B2%7D%29%5E%7B1%2F4%7D%5C%5C%5C%5Cy%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot+log%7E2 "y=log~\sqrt[4]{4}\\\\y=log~(2^{2})^{1/4}\\\\y=\frac{1}{2}\cdot log~2")
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Achando a razão x / y:
![\dfrac{x}{y}=\dfrac{\frac{1}{3}\cdot log~3}{\frac{1}{2}\cdot log~2}=\dfrac{2}{3}\cdot log_{2}(3)\\\\\\\dfrac{x}{y}=log_{2}(3^{2/3})=log_{2}(\sqrt[3]{3^{2}})=log_{2}(\sqrt[3]{9})](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7Bx%7D%7By%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot+log%7E3%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot+log%7E2%7D%3D%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Ccdot+log_%7B2%7D%283%29%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5Cdfrac%7Bx%7D%7By%7D%3Dlog_%7B2%7D%283%5E%7B2%2F3%7D%29%3Dlog_%7B2%7D%28%5Csqrt%5B3%5D%7B3%5E%7B2%7D%7D%29%3Dlog_%7B2%7D%28%5Csqrt%5B3%5D%7B9%7D%29 "\dfrac{x}{y}=\dfrac{\frac{1}{3}\cdot log~3}{\frac{1}{2}\cdot log~2}=\dfrac{2}{3}\cdot log_{2}(3)\\\\\\\dfrac{x}{y}=log_{2}(3^{2/3})=log_{2}(\sqrt[3]{3^{2}})=log_{2}(\sqrt[3]{9})")
Analisando raiz cúbica de 9:
![\sqrt[3]{9}>\sqrt[3]{8}\\\sqrt[3]{9}<\sqrt[3]{27}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B3%5D%7B9%7D%26gt%3B%5Csqrt%5B3%5D%7B8%7D%5C%5C%5Csqrt%5B3%5D%7B9%7D%26lt%3B%5Csqrt%5B3%5D%7B27%7D "\sqrt[3]{9}>\sqrt[3]{8}\\\sqrt[3]{9}<\sqrt[3]{27}")
Logo:
![\sqrt[3]{8}<\sqrt[3]{9}<\sqrt[3]{27}\\2<\sqrt[3]{9}<3](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B3%5D%7B8%7D%26lt%3B%5Csqrt%5B3%5D%7B9%7D%26lt%3B%5Csqrt%5B3%5D%7B27%7D%5C%5C2%26lt%3B%5Csqrt%5B3%5D%7B9%7D%26lt%3B3 "\sqrt[3]{8}<\sqrt[3]{9}<\sqrt[3]{27}\\2<\sqrt[3]{9}<3")
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Então sabemos que log de raiz cubica de 9 na base 2 é maior que 1, já que raiz cúbica de 9 é maior que 2
Se a razão entre dois números é maior que 1, é claro que o numerador é maior que o denominador, logo:
![x>y\\log~(\sqrt[3]{3})>log~(\sqrt[4]{4})](https://tex.z-dn.net/?f=x%26gt%3By%5C%5Clog%7E%28%5Csqrt%5B3%5D%7B3%7D%29%26gt%3Blog%7E%28%5Csqrt%5B4%5D%7B4%7D%29 "x>y\\log~(\sqrt[3]{3})>log~(\sqrt[4]{4})")
Que implica:
![\boxed{\boxed{\sqrt[3]{3}>\sqrt[4]{4}}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%5Cboxed%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B3%7D%26gt%3B%5Csqrt%5B4%5D%7B4%7D%7D%7D "\boxed{\boxed{\sqrt[3]{3}>\sqrt[4]{4}}}")
Existem outros métodos de provar que raiz cúbica de 3 é maior que raiz quarta de 4, mas esse surgiu na minha cabeça. Se eu pensar em um mais fácil, edito a resposta
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Achando a razão x / y:
Analisando raiz cúbica de 9:
Logo:
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Então sabemos que log de raiz cubica de 9 na base 2 é maior que 1, já que raiz cúbica de 9 é maior que 2
Se a razão entre dois números é maior que 1, é claro que o numerador é maior que o denominador, logo:
Que implica:
Existem outros métodos de provar que raiz cúbica de 3 é maior que raiz quarta de 4, mas esse surgiu na minha cabeça. Se eu pensar em um mais fácil, edito a resposta
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