Question

Determine o limite: lim
√4x +1-3
8-x3

Answer 1

Resposta: Letra D) - 1/18

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Explicação passo a passo:

Calcular o limite:

ﾠ$L=\underset{x\to2}{lim}\bigg(\dfrac{\sqrt{4x+1}-3}{8-x^3}\bigg)$

É de praxe utilizar as propriedades dos limites para calcular o valor de um limite. Entretanto, veja que se fizermos isto aqui, teríamos algo do tipo

ﾠ$L=\dfrac{\sqrt{4.2+1}-3}{8-2^3}=\dfrac{\sqrt{9}-3}{8-8}=\dfrac{3-3}{0}=\dfrac{0}{0}$

, que é uma indeterminação matemática; Isto é, uma expressão que possui valor indefinido; impossível de existir no conjunto de números que conhecemos. Por conta disto, nosso objetivo, algebricamente, é escapar desta indeterminação por meio de algum recurso/macete.

No caso de expressões fracionárias onde o numerador e o denominador são funções diferenciáveis, podemos aplicar a Regra de L'Hôpital. Ela é uma regra quebradíssima que sempre nos salva, principalmente quando há funções muito complicadas. Em nosso caso, a função até que é simples, podemos multiplicá-la pelo conjugado do numerador a fim de modificar esse denominador. Só que isso exige um pouco de trabalho braçal, então vamos para a regra de L'Hôpital que é mais rápido.

A regra em questão dita que, se $f(x)$ e $g(x)$ são funções diferenciáveis ao redor de um ponto $x = a$ e $\underset{x\to a}{lim}\,f(x)=\underset{x\to a}{lim}\,g(x)=0$, então é válida a relação:

ﾠ$L=\underset{x\to a}{lim}\,\bigg(\dfrac{f(x)}{g(x)}\bigg)=\underset{x\to a}{lim}\,\bigg(\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\bigg),~g'(x)\neq 0$

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Logo:

ﾠ$\begin{array}{l}L=\underset{x\to2}{lim}\bigg(\dfrac{\sqrt{4x+1}-3}{8-x^3}\bigg)=\\\\~~=\underset{x\to2}{lim}\bigg[\dfrac{(\sqrt{4x+1}-3)'}{(8-x^3)'}\bigg]=\\\\~~=\underset{x\to2}{lim}\bigg[\dfrac{(\sqrt{4x+1})'-(3)'}{(8)'-(x^3)'}\bigg]=\\\\~~=\underset{x\to2}{lim}\bigg[\dfrac{\frac{1}{2}(4x+1)^{-\frac{1}{2}}(4x+1)'-0}{0-3x^2}\bigg]=\\\\~~=\underset{x\to2}{lim}\bigg[\dfrac{\frac{4}{2\sqrt{4x+1}}}{-\,3x^2}\bigg]=\\\\~~=\underset{x\to2}{lim}\bigg[-\dfrac{2}{3x^2\sqrt{4x+1}}\bigg]\end{array}$

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Agora sim não haverá mais indeterminação. Aplicando as propriedades dos limites:

ﾠ$\begin{array}{l}L=\underset{x\to2}{lim}\bigg[-\dfrac{2}{3x^2\sqrt{4x+1}}\bigg]=\\\\~~=-\dfrac{2}{3.2^2\sqrt{4.2+1}}=\\\\~~=-\dfrac{2}{3.4\sqrt{8+1}}=\\\\~~=-\dfrac{1}{3.2\sqrt{9}}=\\\\~~=-\dfrac{1}{6.3}=\\\\~~=-\dfrac{1}{18}\end{array}$

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Então o limite existe e é igual a - 1/18.

Letra D

Answer 2

Resposta: – 1/18 (alternativa ''D'').

Explicação passo a passo:

$\large\begin{array}{l}\displaystyle\sf L=\lim_{x\to2}\dfrac{\sqrt{4x+1}-3}{8-x^3}\\\\ \sf L=\displaystyle\sf\lim_{x\to2}\Bigg[\dfrac{\sqrt{4x+1}-3}{8-x^3}\ \cdot\ \dfrac{\sqrt{4x+1}+3}{\sqrt{4x+1}+3}\Bigg]\\\\ \sf L=\displaystyle\sf\lim_{x\to2}\Bigg[\dfrac{4x+1-9}{\left(8-x^3\right)\!\big(\sqrt{4x+1}+3\big)}\Bigg]\\\\ \sf L=\displaystyle\sf\lim_{x\to 2}\Bigg[\dfrac{-4(2-x)}{(2-x)(4+2x+x^2)\big(\sqrt{4x+1}+3\big)}\Bigg]\end{array}$

(Lembrando-se de que o fato de ''x'' tender a 2 (dois) sempre garante a não nulidade da diferença ''2 – x'', pode-se efetuar tranquilamente o cancelamento na expressão acima.)

$\large\begin{array}{l}\sf L=\displaystyle\sf\lim_{x\to 2}\Bigg[\dfrac{-4}{\big(4+2\:\!x+x^2)\big(\sqrt{4x+1}+3\big)}\Bigg]\\\\ \sf L=\dfrac{-4}{\big(4+2\cdot 2+2^2\big)\big(\sqrt{4\cdot 2+1}+3\big)}\\\\ \boxed{\sf L=-\dfrac{1}{18}}\end{array}$

Nota:

$\large\begin{cases}\sf a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\\\ \sf 8-x^3 = (2-x)(2^2+2x+x^2)\end{cases}$

$\large\begin{cases}\sf (a+b)(a-b)=a^2-b^2\\\\ \sf \big(\sqrt{4x+1}+3\big)\!\:\!\big(\sqrt{4x+1}-3\big)=4x+1-3^2\end{cases}$