Question

determine o limite de soma de cada PG infinita a seguir:​

Answer 1

Visto as sequências, é fácil notar que se trata de uma P.G infinita, e o limite da soma de uma P.G, nada mais que é a soma infinita de uma P.G.

A soma dos termos de uma P.G infinita, pode ser calculada pela seguinte relação :

$S_\infty = \frac{a_1}{1-q }$

item a

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, ... )$

$a_1 = \frac{1}{2}$

Precisamos achar a razão.

• Como calcular a razão de uma PG ?

Basta dividir o termo pelo seu antecessor, no caso vou usar o 2º termo, ou seja,

$q = \frac{a_2} {a_1}$

$q = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}$  ⇒ $q = \frac{1}{6}.\frac{2}{1}$ ⇒ $q = \frac{1}{3}$

agora já temos tudo o que precisamos

$a_1 = \frac{1}{2}$

$q = \frac{1}{3}$

substituindo na fórmula :

$S_\infty = \frac{a_1}{1-q }$  

$S_\infty = \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}}$

$S_\infty = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3-1}{3}}$

(divisão de fração, repete a primeira e multiplica pelo inverso da segunda)

$S_\infty = \frac{1}{2}.\frac{3}{2}$

$S_\infty = \frac{3}{4}$

Item B

$(3,1,\frac{1}{3}, ...)$

primeiro vamos achar a razão.

$q = \frac{a_2}{a_1}$ ⇒ $q = \frac{1}{3}$

e temos o $a_1 = 3$

substituindo na fórmula :

$S_\infty = \frac{a_1}{1-q }$  

$S_\infty = \frac{3}{1-\frac{1}{3}}$

$S_\infty = \frac{3}{\frac{3-1}{3}}$

$S_\infty = 3.\frac{3}{2}$

$S_\infty = \frac{9}{2}$

item C.

$(1,\frac{1}{10}, ... )$

calculando a razão :

$q = \frac{\frac{1}{10}}{1}$ ⇒ $q = \frac{1}{10 }$

Substituindo na fórmula :

$S_\infty = \frac{a_1}{1-q }$  

$S_\infty = \frac{1}{1-\frac{1}{10}}$

$S_\infty = \frac{1}{\frac{10-1}{10}}$

$S_\infty = 1.\frac{10}{9}$ = $\frac{10}{9}$

Vou deixar o item D para você treinar.

Vou resolver o item E

$(a^2,\frac{a^2}{2},\frac{a^2}{4}, ... )$

Calculando a razão :

$q = \frac{\frac{a^2}{2}}{a^2}$ ⇒ $q = \frac{1}{2}$

Substituindo na fórmula :

$S_\infty = \frac{a_1}{1-q }$  

$S_\infty = \frac{a^2}{1-\frac{1}{2}}$

$S_\infty = \frac{a^2}{\frac{1}{2}}$

$S_\infty = 2.a^2$

Não é necessário saber, mas como a questão falou em limite, eu vou deixar a prova da fórmula aqui :

Sendo a soma dos termos de uma P.G que é dada por :

$S = \frac{a_1.(q^n-1)}{q-1}$ ou $S = \frac{a_1.(1-q^n)}{1-q}$

Aplicando o limite da soma dos termos quando n tende ao infinito,

temos :

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_1.(1-q^n)}{1-q}$

(obs: só será possível se a razão estiver no intervalo $-1<q<1$ ).

substituindo n = $\infty$

$\frac{a1.(1-q^\infty)}{1-q}$

Sendo a razão entre -1 e 1, não é um número inteiro. Então ao elevarmos $q^\infty$ vai tender a 0.  

Portanto :

$\frac{a_1.(1-0)}{1-q}$

$\frac{a_1}{1-q }$

ta aí, essa é a fórmula da soma dos termos de uma PG infinita.

Só para ficar claro, imagine uma razão sendo = 0,1.

agora vamos elevar ao quadrado

$(0,1)^2 = 0,01$

e agora ao cubo :

$(0,1)^3 = 0,001$

Agora vamos elevar a 7 :

$(0,01)^7 = 0,00000001$

note que a medida que o expoente aumenta o número diminui, ficando cada vez mais próximo de 0. Então perceba que se elevarmos a um número enorme que tende ao infinito o valor será tão pequeno que vai tender a 0. Sendo assim ⇒ $q^\infty = 0$ (n tendendo ao infinito)