Question

Determine o intervalo solução da inequação:

a) -2<25x²-3<97

Answer 1

$-2<25x^{2}-3<97$


Somando $3$ a todos os membros desta dupla desigualdade, temos

$-2+3<25x^{2}-\diagup\!\!\!\! 3+\diagup\!\!\!\! 3<97+3\\ \\ 1<25x^{2}<100$


Dividindo todos os membros por $25$, a desigualdade não se altera, pois estamos dividindo por um número positivo. Então

$\dfrac{1}{25}<x^{2}<\dfrac{100}{25}\\ \\ \dfrac{1}{25}<x^{2}<4\\ \\ \dfrac{1}{25}<x^{2}\;\;\text{ e }\;\;x^{2}<4$


Vamos resolver cada desigualdade separadamente, e depois fazer a interseção das soluções:

$\bullet\;\;\dfrac{1}{25}<x^{2}\\ \\ \sqrt{\dfrac{1}{25}}<\sqrt{x^{2}}\\ \\ \dfrac{1}{5}<\left|x\right|\\ \\ \left|x\right|>\dfrac{1}{5}\\ \\ x<-\dfrac{1}{5}\;\;\text{ ou }\;\;x>\dfrac{1}{5}$

A solução para a inequação acima é

$\left(-\infty,\,-\dfrac{1}{5} \right )\cup \left(\dfrac{1}{5},\,+\infty \right )$


$\bullet\;\;x^{2}<4\\ \\ \sqrt{x^{2}}<\sqrt{4}\\ \\ \left|x\right|<2\\ \\ -2<x<2$

A solução para esta outra inequação é

$\left(-2,\,2 \right )$


Fazendo a interseção entre as duas soluções acima, encontramos a solução da dupla desigualdade inicial, que é

$-2<x<-\dfrac{1}{5}\;\;\text{ ou }\;\;\dfrac{1}{5}<x<2$

que corresponde ao intervalo

$\left(-2,\,-\dfrac{1}{5} \right )\cup \left(\dfrac{1}{5},\,2 \right)$