Question

Determine o fator integrante que transforma a EDO (3xy + y2) + (x2 + xy).y' = 0 em uma equação exata.
a)λ = -1/x
b)λ = x
c)λ = ex
d)λ = 1/x
e)λ = -x

Answer 1

Sendo (3xy + y²) + (x² + xy)y' = 0 uma EDO não exata temos que:

M(x,y) = 3xy + y² e N(x,y) = x² + xy.

Derivando M em relação a y e derivando N em relação a x, obtemos:

My = 3x + 2y e Ny = 2x + y.

Sendo assim, temos que:

$\frac{M_y - N_x}{N}=\frac{3x+2y-2x-y}{x^2+xy} = \frac{x+y}{x(x+y)} = \frac{1}{x}$.

O fator integrante é calculado da seguinte maneira: $\mu(x) = e^{\int {\frac{M_y - N_x}{N}} \, dx$.

Portanto, o fator integrante que transforma a Equação Diferencial Ordinária (3xy + y²) + (x² + xy).y' = 0 em uma equação exata é:

$\mu(x) = e^{\int {\frac{1}{x}} \, dx }=e^{ln(x)} = x$.

Alternativa correta: letra b).