Question

determine o erro cometido ao utilizar diferencial para aproximar o valor do Volume de um cilindro tal que:



a altura h é de 5 m;
o raio r de 20 m pode sofrer alteração de 5 cm (para mais ou para menos).

Answer 1

O volume do cilindro é calculado pela formula $V=h\pi r^2$

sabendo que a altura é fixa e o raio pode variar em + 5 ou - 5 centimetros, podemos utilizar das regras da derivada para calcular o erro.

a derivada será  $\dfrac{d}{dr}h\pi(r)^2=2h\pi r$

E como no exemplo com o qual estamos trabalhando o raio varia em 5 cm, então basta substituir r por 0,05.

$\dfrac{d}{dr}h\pi(r)^2=2h\pi r=2*5\pi 0,05=\dfrac{\pi}{2}$

Podemos tambem, da definição por limite da derivada,  verificar conforme o erro tende a zero, o limite também tenderá para zero.

$\lim_{h\righarrow0}\dfrac{f(x+a)-f(a)}{x}$

$\lim_{h\righarrow0}\dfrac{h\pi(r+x)^2-h\pi(r)^2}{x}$

$\lim_{h\righarrow0}\dfrac{h\pi(r^2+2rx+x^2)-h\pi(r)^2}{x}$

$\lim_{h\righarrow0}\dfrac{h\pi(2rx+x^2)}{x}$

$\lim_{h\righarrow0}h\pi(2r+x)=0$

E obtemos o mesmo resultado.