Question

Determine o domínio, imagem, e esboce o gráfico da função:

Answer 1

1. Domínio

O domínio de uma função refere-se ao conjunto de valores de x em que f(x) esteja definida. 

No caso da função fornecida, f(x) está definida para:

x ≤ -4 -> Definida para todos os valores de x menores ou iguais que -4
-4 < x < 4 -> Definida para todos os valores de x entre -4 e 4
x ≥ 4 -> Definida para todos os valores d x maiores ou iguais que 4

Logo, supondo que f(x) esteja definida nos reais, seu domínio é o próprio conjunto dos números reais (ou seja, todos os números existentes)

Dom f(x) = x ∈ R
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2. Imagem

A imagem de uma função f(x) são os valores da própria f(x) dado os valores do domínio x. Explorando cada um dos casos:

i) x ≤ -4  e f(x) = x + 6

o maior valor de x será -4, seguindo para -5, -6, -7 e assim por diante infinitamente. Então:

f(-4) = -4 + 6 = +2
f(-5) = -5 + 6 = +1
f(-6) = -6 + 6 = 0
f(-7) = -7 + 6 = -1
f(-100) = -100 + 6 = -94
f(-1000) = -1000 + 6 = -994

E assim por diante, então a imagem da função para x ≤ -4 varia de +2 até infinito negativo.

ii) -4 < x < 4 e f(x) = √(16 - x²)

Então todos os valores da imagem de f(x) estarão entre os valores de x = -4 e x= +4:

f(-4) = √(16 - (-4)²) = √(16) - (16) = √0 = 0

f(+4) = √(16 - (+4)²) = √(16) - (16) = √0 = 0

Então nos extremos do intervalo, a imagem de f(x) será zero. Vamos ver o que acontece dentro do intervalo:

√(16 - x²)

x² será sempre positivo, não importa o valor de x, e o sinal de menos garante que o valor da operação será sempre menor que 16. Logo o maior valor de f(x) será 4 quando x é igual a zero (você pode usar a fórmula do vértice da equação do segundo grau caso não goste dessa abordagem mais intuitiva)

f(0) = √(16 - 0²)  = √16 = 4

Então a imagem da função para -4 < x < 4 varia de 0 até +4.

iii) x ≥ 4 e f(x) = 6 - x

Fazendo a mesma coisa que fizemos em (i):

f(4) = 6 - 4 = 2
f(5) = 6 - 5 = 1
f(6) = 6 - 6 = 0
f(7) = 6 - 7 = - 1
f(10) = 6 - 10 = -4
f(100) = 6 - 100 = -94
f(1000) = 6 - 1000 = -994

Maior valor = +2
Menor valor = tendendo ao infinito negativo

Então a imagem da função para -x ≥ 4 varia de +2 até infinito negativo

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Juntando i), ii) e iii) temos:

i) {-∞, +2}
ii) {0,+4}
iii) {+2,-∞}

O maior valor possível sera +4. Então a imagem de f(x) são os valores menores ou iguais a +4, ou  seja:

Im f(x) = f(x) ≤ +4
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3. Gráfico

Para o gráfico, precisamos de todos os pontos que interceptam os eixos x e y.

i) x ≤ -4 e f(x) = x + 6

f(x) = x + 6, equação do primeiro grau, reta crescente ( coef. angular positivo)

f(x) = 0
x + 6 = 0
x = - 6

f(x) intercepta o eixo x em x = -6 e segue 

ii) -4 < x < 4 e f(x) = √(16 - x²)

 f(x) = √(16 - x²), pode-se imaginar como a parte positiva de um círculo de raio 4 (ver equação do círculo) 

f(x) = 0
√(16 - x²) = 0
16 - x² = 0
x² = 16
x = +4 e x = -4

Logo não interceptará o eixo x porque não está definida nos pontos +4 e -4 (já vimos que os valores serão +2 quando x for -4 ou +4, veja acima)

Quando x = 0
f(0) = √(16 - 0²)  = 16 = 4

Intercepta o eixo y quando x = 0

iii) x ≥ 4  e f(x) = 6 - x

f(x) = 6 - x, equação do primeiro grau, reta decrescente (coef. angular negativo)

f(x) = 0
6 - x = 0
x = +6

Intercepta o eixo x quando x = + 6

Fazendo uma tabelinha dos valores mais importantes que vimos até agora:

x  |   f(x)
-∞ | -∞  reta crescente
-6 | 0 reta crescente
-4 | +2 reta crescente
0 | +4 parte do círculo
+4 | +2 reta decrescente
+6 | 0 reta decrescente
+∞ | -∞ reta decrescente

gráfico em anexo