Question

Determine o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
f(x) = log3(x2 − 5x + 6)

Answer 1

Sendo uma função logarítmica, a sua limitação é que o seu logaritmando deve assumir valores positivos, logo $x^2-5x+6>0$. Vamos calcular as raízes desse polinômio:

$x^2-5x+6=0$

$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot6}}{2}$

$x=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}$

$x=\frac{5\pm1}{2}$

$x\in\{2,3\}$

Como o coeficiente do termo de maior grau do polinômio é positivo, ele caracteriza uma parábola voltada para cima. Dessa forma, a função é negativa ou nula no intervalo $[2,3]$. Temos então que o domínio é $D_f=\mathbb{R}-[2,3]$.

A função $\log_3(x)$ têm como conjunto imagem todo o conjunto dos números reais desde que $x$ possa assumir qualquer valor real positivo. Como a parábola da função $x^2-5x+6$ possui concavidade voltada para cima e ela possui raízes reais, ela pode assumir qualquer valor positivo, logo $f(x)$ possui como imagem o conjunto $\text{Im}_f=\mathbb{R}$.