Question

determine o dominio e o conjunto imagem da funcao f a seguir

Answer 1

Essa função é por parâmetros: 
{para 1 < x ≤ 5 (Domínio) vale a f(x) = (1/2)x² -2x + 3/2, gerando                        a imagem  (-2 ≤ y ≤ 4)

{para 5 < x ≤ 7 (Domínio) vale f(x) = -3x + 23, gerando                                       a Imagem ( 8 > y ≤ 7 ), seguindo a ordem. 


A primeira função é uma função quadrática na forma ax² + bx + c = 0. Sabendo que seu ponto mínimo fica em x = 2, que também é onde a inclinação da reta tangente à função (derivada) tem valor zero, temos o seguinte: Derivada de(ax² + bx + c) = 2ax + b. Com em x = 2, a derivada = 0, temos: 2.a.2 + b = 0; 4a + b = 0; Então b = -4a.
Ora, sabemos que o valor mínimo de uma função quadrática fica exatamente no meio de suas raízes, uma das quais nós já sabemos que é 1, embora não faça parte do conjunto. Sendo 2 o ponto médio, então (1 + x)/2 = 2, no que resulta que x = 3, que é a outra raiz da função, com a diferença que 3 está realmente no domínio da função. Então já temos os dois valores x para os quais f(x) = 0, ou seja, 1 e 3.Vamos descobrir o valor de c em relação a "a", substituindo x pela primeira raiz, 1: a(1)² + b.(1) + c = 0. mas b = -4a. então: a -4a + c = 0; Logo, c = 3a.
Falta achar o valor de a, para acharmos a função. Pelo gráfico, vemos que, quando x = 5, f(x) = 4. Então, aplicando x = 5, e substtuindo os valores de b e c, pelos ss equivalentes em termos de a, temos:
a(5)² + b(5) + c = 4; 25a + 5b + c = 4;  25a +5(-4a) + 3a = 4  => 25a - 20a + 3a = 4 => 8a = 4 => a = 1/2b = -2c = 3/2
Então a 1ª equção fica assim: f(x) = (1/2)x² -2x + 3/2, para 1 < x <=5
No segundo caso, precisamos sabemos que é uma equação do primeiro grau do tipo ax + b, onde a é a inclinação da reta que, no caso pode ser calculada por (2 - 8)/(7 - 5) = -6 / 2 = -3.Vamos agora pegar um par ordenado da reta, no caso, ( 7, 2 ) e fazer: f(x) - 2 = - 3( x - 7) => f(x) - 2 = 3x - 21 => f(x) = 3x + 23, para 5 < x < =7.