Question

Determine o domínio e a imagem de f(x)=√x−x^3.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$f(x)=\sqrt{x-x^{3}}$

Domínio

Restrição: nesta função, não devemos ter números negativos dentro do radical, pois não existe raiz quadrada de números negativos no conjunto dos números reais. Então:

    $x-x^{3}\geq0$

Coloque o fator comum x em evidência

    $x.(1-x^{2})\geq0$

Se o produto dos dois termos é maior ou igual a zero, cada termo é maior ou igual a zero. Então:

    $x\geq0$

    e

    $1-x^{2}\geq0$  →  $-x^{2}\geq-1$

    multiplique os dois lados da desigualdade por -1 e troque o sinal ≥

    por ≤

    $x^{2}\leq1$  →  $x\leq\pm\sqrt{1}$  →  $x\leq\pm1$

Nestas condições, temos

    $x\leq-1$  $ou$  $0\leq x\leq 1$

    D = {x ∈ |R / x ≤ -1  ou  0 ≤ x ≤ 1}

Imagem

Como não podemos ter números negativos dentro do radical, as soluções da função f(x) serão maiores ou igual a zero. Então:

    Im = {f(x) ∈ |R / f(x) ≥ 0}