Question

Determine o domínio e a imagem de f(x)=ln[x+2/2−x].


a) Dom(f)={x∈R|x≠2} ,

Im(f)={y∈R}


b) Dom(f)={x∈R|−2≤x≤2} ,

Im(f)={y∈R} .


c) Dom(f)={x∈R|−2
Im(f)={y∈R} .


d) Dom(f)={x∈R|x≤−2 e x≥2} ,

Im(f)={y∈R|y≥0}

Answer 1

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\red{N.D.O.}~~~}}$

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$\bf\large\green{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$

$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá novamente, Kira. Vamos a mais um exercício ❗ Acompanhe a resolução abaixo. ✌

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☔ Lembremos que ln é o Logaritmo Natural, ou seja, o logaritmo de base igual ao número neperiano (ou número de Euler), também chamado somente pela letra e. Na função Logarítmica temos que

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\rm log_b(a) = c \iff b^c = a}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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ou seja

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$\Large\gray{\boxed{\rm\blue{ e^y = \dfrac{x + 2}{2 - x} }}}$

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☔ Temos que para esta função nossa condição limitante é a de que $e^y$ sempre será um valor positivo (pois e é um número positivo), ou seja, $\dfrac{x + 2}{2 - x}$ sempre resultará em um valor positivo. Mas quando isso acontece? Somente quando ambos os valores do numerador e denominador forem ou positivos ou negativos. Vamos analisar quando isso ocorre pela análise da reta numérica do numerador e do denominador:

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$\large\begin{array}{l}\sf x + 2:~~~ \green{\blacktriangleleft\!\!\overset{\red{------}}{\textsf{------------}}\!\!\!\:\!\underset{-2}{\bullet}\!\!\!\overset{\blue{+++++++++++++++++++++}}{\textsf{--------------------------------------}}\!\!\!\blacktriangleright}\end{array}$

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$\large\begin{array}{l}\sf 2 - x:~~~ \green{\blacktriangleleft\!\!\overset{\blue{+++++++++++++++++++++}}{\textsf{--------------------------------------}}\!\!\!\:\!\underset{2}{\bullet}\!\!\!\overset{\red{------}}{\textsf{------------}}\!\!\!\blacktriangleright}\end{array}$

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$\large\begin{array}{l}\sf \dfrac{x + 2}{2 - x}:~~~ \green{\blacktriangleleft\!\!\overset{\red{------}}{\textsf{------------}}\!\!\!\:\!\underset{-2}{\bullet}\!\!\!\overset{\blue{+++++++++++++}}{\textsf{------------------------}}\!\!\!\:\underset{2}{\circ}\!\!\overset{\red{------}}{\textsf{------------}}\!\!\!\blacktriangleright}\end{array}$

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☔ Considerando que x = -2 resultaria em $e^y = 0$ e que x = 2 resultaria em uma indeterminação de divisão por zero, então sabemos que  Dom (f) = {x∈R | -2 < x < 2}.

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➡ $\large\sf\blue{ \lim_{x \to +2}~\dfrac{x + 2}{2 - x} = +\infty }$

➡ $\large\sf\blue{ \lim_{e^y \to +\infty}~e^y \Longrightarrow y = +\infty }$

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➡ $\large\sf\blue{ \lim_{x \to -2}~\dfrac{x + 2}{2 - x} = 0 }$

➡ $\large\sf\blue{ \lim_{e^y \to 0}~e^y \Longrightarrow y = -\infty }$

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☔ Pela análise por limites sabemos que {y ∈ R}.

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❌ Não havendo nenhuma das opções que confira com o resultado encontrado então a resposta será Nenhuma das Alternativas. Confira se o item c) está realmente escrito inteiro (me parece que aquele "-2" sofreu um corte abrupto) e se, porventura, ele não é justamente a resposta encontrada.

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\red{N.D.O.}~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\Large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$

Answer 2

Resolução

Para que a função f(x) = ln[(x + 2)/(2 - x)] esteja perfeitamente definida (determinação do domínio D[f(x)]), basta que o logaritmando (ou antilogaritmo) (x + 2)/(2 - x) seja positivo. Mais precisamente,

(x + 2)/(2 - x) > 0  ( I )

Para que ocorra ( I ), devemos ter:

x + 2 > 0  e  2 - x > 0

x > - 2  e  2 > x

x > - 2  e  x < 2  ( II )

OU

x + 2 < 0  e  2 - x < 0

x < - 2  e  2 < x  ( III )

O intervalo ( II ) equivale a - 2 < x < 2, já o ( III ) gera o conjunto vazio, pois não existe x real que seja, simultaneamente, menor que - 2 e maior que 2. Portanto, o domínio D[f(x)] será:

D[f(x)] = ( II )  U  ( III )

D[f(x)] = ]- 2 , 2[  U  Ø

D[f(x)] = ]- 2 , 2[  

D[f(x)] = {x ∈  ℝ | - 2 < x < 2}.

2.ª RESOLUÇÃO

O domínio D[f(x)] de f(x) é constituído apenas pelos valores reais de x que tornam o logaritmando (x + 2)/(2 - x) ( IIII ) positivo (maior que zero), pois, por definição, o logaritmando é uma potência gerada a partir de uma base positiva cujo expoente é um número real qualquer (por isso, o logaritmando deve ser sempre um número real positivo). Sem mais delongas, fazendo ( IIII ) > 0, adquiriremos:

(x + 2)/(2 - x) > 0  

[(2x - x) + 2]/(2 - x) > 0

[(2 - x) + 2x]/(2 - x) > 0

(2 - x)/(2 - x) + 2x/(2 - x) > 0

1 + 2x/(2 - x) > 0

2x/(2 - x) > - 1

x/(2 - x) > - 1/2

x/(x - 2) < 1/2

(x + 0)/(x - 2) < 1/2

(x + 2 - 2)/(x - 2) < 1/2

[(x - 2) + 2]/(x - 2) < 1/2

(x - 2)/(x - 2) + 2/(x - 2) < 1/2

1 + 2/(x - 2) < 1/2

2/(x - 2) < 1/2 - 1

2/(x - 2) < 1/2 - 2/2

2/(x - 2) < (1 - 2)/2

2/(x - 2) < - 1/2

4/(x - 2) < - 1  ( IIIII )

4/(2 - x) > 1  ( IIIII )’

Para que o ocorra ( IIIII ) ou ( IIIII )’, devemos ter: - 4 < x - 2 < 0 ⇔ - 4 + 2 < x - 2 + 2 < 0 + 2 ⇔ - 2 < x < 2. Portanto, o domínio D[f(x)] é dado por

D[f(x)] = {x ∈  ℝ | - 2 < x < 2}.

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