Question

Determine o domínio e a imagem da função f(x)= x(ao quadrado)-9x+20

Answer 1

$\mathsf{f:\mathbb{R}~\longrightarrow~\mathbb{R}}\\\mathsf{\hspace{14}x~\longmapsto~x^2-9x+20}$

Sempre que formos analisar a imagem de uma função quadrática devemos nos atentar ao coeficiente a sendo ax² + bx + c a função quadrática. 

Teremos dois casos possíveis:

$\mathsf{Se~a\ \textgreater \ 0~~~ent\~ao~~~Im=\begin{Bmatrix}\mathsf{y\in\mathbb{R}|~y \geq \dfrac{-\Delta}{~~4a}}\end{Bmatrix}}\\\\\\\mathsf{Se~a\ \textless \ 0~~~ent\~ao~~~Im=\begin{Bmatrix}\mathsf{y\in\mathbb{R}|~y \leq \dfrac{-\Delta}{~~4a}}\end{Bmatrix}}$

Para sua função temos:

$\mathsf{f(x)=y=x^2-9x+20}\\\\\mathsf{a=1\ \textgreater \ 0}\\\\\mathsf{Im=\begin{Bmatrix}\mathsf{y\in\mathbb{R}|~y \geq \dfrac{-\Delta}{~~4a}}\end{Bmatrix}}$

Como Δ = b² - 4ac ( para entender é importante que você lembre o que são os coeficientes de uma função do segundo grau ou quadrática)

$\mathsf{Im=\begin{Bmatrix}\mathsf{y\in\mathbb{R}|~y \geq \dfrac{-[(-9)^2-4\cdot 1\cdot 20]}{~~~4\cdot1}}\end{Bmatrix}}\\\\\\\mathsf{Im=\begin{Bmatrix}\mathsf{y\in\mathbb{R}|~y \geq \dfrac{-[81-80]}{~~~4}}\end{Bmatrix}}\\\\\\\mathsf{Im=\begin{Bmatrix}\mathsf{y\in\mathbb{R}|~y \geq -\dfrac{1}{4}}\end{Bmatrix}}$

Portanto temos:

$\mathsf{D_f=\begin{Bmatrix}\mathsf{x\in\mathbb{R}}\end{Bmatrix}~~\leftarrow~dom\'inio}}\\\\\\\mathsf{Im=\begin{Bmatrix}\mathsf{y\in\mathbb{R}|~y \geq -\dfrac{1}{4}}\end{Bmatrix}~~\leftarrow~~imagem}$