Question

Determine o domínio de validade das seguintes funções:
a) f(x)=log(x-2)x
b) f(x)=log(x-9) (X²-16)

Answer 1

Analisando os logaritmandos das funções e seus sinais, temos que:

a) Dom : {x e R ; x > 2}.

b) Dom : {x e R ; x > 9}.

Explicação passo-a-passo:

Para uma função logaritmica existir, basta que o seu interior seja positivo, pois não existe logaritmo de número negativo.

Quando a base for também uma função então temos que separar as bases.

a) $f(x)=Log_{x-2}x$

Vamos separar as bases:

$f(x)=Log_{x-2}x$

$f(x)=\frac{Log(x)}{Log(x-2)}$

Agora basta analisarmos quando cada interior de logaritmo é positivo:

$x>0$

$x-2>0$

$x>2$

Assim temos que para esta função existir ela tem que ser maior que 0 e maior que 2, ou seja, basta que ela seja maior que 2.

Dom : {x e R ; x > 2}.

b) $f(x)=Log_{x-9}(x^2-16)$

Vamos novamente separar as bases:

$f(x)=Log_{x-9}(x^2-16)$

$f(x)=\frac{Log(x^2-16)}{Log(x-9)}$

Agora basta analisarmos onde cada um dos logaritmos é positivo:

$x^2-16$

Esta é uma função do segundo grau, com raízes -4 e 4, ou seja, o desenho dela no gráfico é uma parabola voltada para cima que passa por -4 e 4.

Assim ela é positiva antes do -4 e depois do 4:

$x<-4$

$x>4$

Agora para o outro logaritmando:

$x-9>0$

$x>9$

Assim temos que esta função tem que ter x maior que 9 ao mesmo tempo que maior que 4 e menor que -4, ou seja, a interseção destes dois é:

Dom : {x e R ; x > 9}.