Question

Determine o domínio de cada uma das funções:

A)f(x)= Log(x+1) (na base 2-x)

B)f(x)= Log(-2x+5) (na base x)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Castiski, que a resolução é simples.
Pede-se para determinar o domínio das seguintes funções logarítmicas:

a) f(x) = log₂₋ₓ (x+1)

Veja: para que possamos encontrar o domínio de uma função logarítmica em que apareçam incógnitas tanto na base como no logaritmando, então devermos encontrar quais são as condições de existência de ambos.
Então teremos:

a.i) Para a base (2-x) deveremos impor que ela, além de ter que ser positiva ( > 0), também deverá ser diferente de "1".
Então, quanto à base, vamos impor isto:

2 - x > 0
- x > - 2 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficamos com:
x < 2 ----- esta é uma condição de existência para a base.

A outra condição de existência para a base é que ela seja diferente de "1". Logo, também deveremos impor isto para a base:

2 - x ≠ 1
- x ≠ 1 - 2
- x ≠ - 1 ----- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
x ≠ 1 ----- Esta é a outra condição de existência para a base.

a.ii) Agora vamos ao logaritmando. Todo logaritmando terá que ser positivo (> 0). Então vamos impor que o logaritmando (x+1) seja positivo (> 0). Assim:

x + 1 > 0
x > - 1 ---- Esta é a condição de existência para o logaritmando.

a.iii) Agora vamos colocar as condições de existência para a base e para o logaritmando e marcar com o símbolo ////////. A resposta será a intersecção entre o que valem para as condições de existência (da base e do logaritmando) e que marcaremos com o símbolo |||||||. Assim, teremos

x < 2............... / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / (2)____________________
x ≠ 1............. ________________(1)______________________
x  > -1..........______(-1)/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /  
Intersecção... ____(-1)| | | | | | | | | | | (1) | | | | | | (2)_______________

Assim, como você está vindo aí em cima, o conjunto-solução será a intersecção, que está no intervalo aberto seguinte:

-1 < x < 1, ou 1 < x < 2  ------ Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução assim, que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | -1 < x < 1, ou 1 < x < 2}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderia ser apresentado assim, o que dá no mesmo:

S = (-1; 1) ∪ (1; 2) .

b) Agora vamos para a outra questão, que é esta:

y = logₓ (-2x+5)

b.i) Utilizando raciocínio idêntico vamos para as condições de existência da base, que tem que ser positiva (>0) e, além disso, diferente de "1".
Logo, para a base, deveremos impor isto:

x > 0 e x ≠ 1 ------ Estas são as condições de existência para a base.

b.ii) Para o logaritmando (-2x+5)  deveremos impor que ele seja positivo (>0). Assim, para o logaritmando vamos impor isto:

-2x+5 > 0
- 2x > -5 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
2x < 5
x < 5/2 ----- Esta é a condição de existência para o logaritmando.

b.iii) Agora vamos ver qual será a intersecção entre as condições de existência para a base e para o logaritmando. Vamos marcar o que vale para cada uma das condições com o símbolo /////////. E vamos marcar a intersecção com o símbolo ||||||||. Assim, teremos:

x > 0 ............... ___ (0)/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
x ≠ 1 .............._____________________ (1) ___________________
x < 5/2.........../ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / (5/2) ________
Intersecção.._____(0)| | | | | | | | | | | | | | | | | | | (1) | | | | | | | | | | | | | | | | | |(5/2)___

Assim, como você está vendo aí em cima, a intersecção ficou no intervalo aberto seguinte:

0 < x < 1, ou 1 < x < 5/2 ----- Esta é a resposta.

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução assm, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | 0 < x < 1, ou 1 < x < 5/2}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser dado assim, o que dá no mesmo:

S = (0; 1) ∪ (1; 5/2).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.