Question

Determine o domínio da função real definida por: f(x)=$\sqrt{x/2}-5x+6$
(é x sobre 2 ali no começo)

Answer 1

Resposta:

Domínio f (x) = { x ∈ |R |  x ∈ ( - ∞ ; 2 ] ∪ [ 3, + ∞ ) }

Explicação passo a passo:

Se estiver :

$f(x) = \sqrt{x^{2} -5x+6}$

Então para calcular o domínio real tem que por como condição que o que

está debaixo do símbolo de radical, seja maior ou igual a zero

O domínio  da função será quando :

x² - 5x + 6 ≥ 0

Isto porque, em |R, só existem raízes quadradas de números positivos ou

nulo.

Para isso temos que estudar o sinal do polinómio x² - 5x + 6

1ª etapa

Calcular os zeros do polinómio

x² - 5x + 6  = 0

Usar Fórmula de Bhaskara

x = ( - b ± √Δ ) / 2a        com Δ = b² - 4 * a * c        e    a ≠ 0

a  =  1

b = - 5

c =   6

Δ = ( - 5 )² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1

√Δ = √1 = 1

x1 = ( - ( - 5 ) + 1 ) / (2*1)

x1 = ( + 5 + 1 ) / 2

x1 = 3

x2 =  ( - ( - 5 ) - 1 ) / (2*1)

x2 = ( + 5 - 1) / 2

x2 = 4/2

x2 = 2

2ª Etapa  - Estudo do sinal

Este função tem a = 1 logo " a  é positivo ".

Quando assim acontece a função do segundo grau toma valores maiores

ou iguais a zero fora da zona entre raízes.

Vou fazer um esboço linear

positiva                          positiva

--------------|- negativa - |--------------------

               2                  3

Se reparar no gráfico em anexo, quando o valor de x vai desde ( - ∞ até 2)

ou quando o valor de x vai de ( 3  a + ∞ ), as coordenadas em y estão

sempre positiva.

E são nulas em x = 2 e x = 3

f(x) ≥ = 0 quando  x ∈ ( - ∞ ; 2 ] ∪ [ 3, + ∞ )

Domínio f (x) = { x ∈ |R |  x ∈ ( - ∞ ; 2 ] ∪ [ 3, + ∞ ) }

Bons estudos  

---------------------

( * ) multiplicação       ( ≥ ) maior ou igual a      ( / ) divisão       ( ∈ ) pertence a

( ≠ ) diferente de      ( ∪ ) união ou reunião de conjuntos

( x1  e x2 )  nomes dados às raízes da equação do 2º grau

( |R ) conjunto dos números reais    ( + ∞ )  mais infinito

( - ∞ ) menos infinito