Question

determine o domínio da função : Raiz 2x-7/x2-9

Answer 1

O domínio é praticamente a condição de existência da função, então vamos lá:

Temos que o denominador em uma fração NUNCA pode ser 0, assim:
x² - 9 ≠ 0
x² ≠9
x ≠ +/- √9
x≠ +/- 3
 
x≠3 e x≠-3             <<<< 1ª condição:

Temos também que a raiz nunca pode ser negativa:
2x-7/x²-9 ≥ 0               para facilitar essa inequação quociente,siga os                                               seguintes passos:

1) ache todas as raízes do numerador e do denominador:
2x - 7 = 0 
2x = 7
x = 7/2 ou 3,5

x²-9 = 0
x² = 9
x = +/- √9
x = +/- 3
x = 3 e x = -3

2) Agora tenha em mente que quando a função passa por uma raiz, contanto que não seja uma raiz dupla, ele troca de sinal, tipo, se uma função positiva passa por uma raiz, ela fica negativa. 

Então, como temos as raízes, basta escolhermos um valor aleatório para x  (como x = 0) e analisarmos o sinal dessa função nesse ponto:

f(x) = √(2x-7/x²-9)
f(0) = √(2.0-7/0²-9)
f(0) = √(-7/-9) 
f(0) = √7/9  <<<< ela é crescente quando x = 0.

A partir disso percebemos que ela é crescente quando x está entre -3 e 3, decrescente quando x está entre 3 e 3,5 e crescente novamente quando
x > 3,5.

Como a inequação pede valores maiores ou iguais a 0:
-3≤ x ≤ 3 ou x ≥ 3,5       <<< 2ª condição:
________________________________________
Agora basta juntarmos as duas condições:
x≠3 e x≠-3
-3≤ x ≤ 3 ou x ≥ 3,5                fazendo a interseção das duas soluções:

-3 < x < 3 ou x ≥ 3,5        <<< esse é o domínio da função:

D(f) = {x E R/ -3 < x < 3 ou x ≥ 3,5}

Segue abaixo o gráfico da função para facilitar a visualização do domínio.
Bons estudos