Question

Determine o domínio da função f(x,y)= ln (x-y) + √x² + y² -1

Answer 1

Determinar o domínio da função

$\mathtt{f(x,\,y)=ln(x-y)+\sqrt{x^2+y^2-1}}$

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Restrições para o domínio:

•   O logaritmando é sempre positivo:

$\mathtt{x-y>0}\\\\ \mathtt{y<x\quad\quad (i)}$


A desigualdade acima corresponde à região do plano que está abaixo da reta $\mathtt{y=x}$ (a bissetriz dos quadrantes ímpares) – excluindo os pontos da reta.


•   O radicando não pode ser negativo:

$\mathtt{x^2+y^2-1\ge 0}\\\\ \mathtt{x^2+y^2\ge 1\quad\quad (ii)}$


A desigualdade acima corresponde à região do plano externa à circunferência de centro no ponto $\mathtt{(0,\,0)}$ e raio $\mathtt{1}$ – incluindo os pontos da circunferência.


Note que os pontos $\mathtt{\left(\!-\,\frac{\sqrt{2}}{2},\,-\,\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$  e  $\mathtt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\,\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$ não pertencem ao domínio, pois não satisfazem a desigualdade $\mathtt{(i)}.$

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O domínio da função é

$\mathtt{Dom(f)=\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2:~y<x~~e~~x^2+y^2\ge 1\}}.$


A representação geométrica do domínio segue em anexo.


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Bons estudos! :-)