Question

Determine o dominio da função f(x,y)= In (x-y )+ √ x² + y² -1

Answer 1

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Determinar o domínio da função

     $\mathsf{f(x,\,y)=\ell n(x-y)+\sqrt{x^2+y^2-1}}$


Restrições para o domínio:

•    O logaritmando deve ser positivo:
 
     $\mathsf{x-y>0}\\\\ \mathsf{x>y}\\\\ \mathsf{y<x}$


A desigualdade acima representa todos os pontos do plano que estão abaixo da bissetriz dos quadrantes ímpares, cuja equação é  y = x,  excluindo os pontos da reta.


•    O radicando em índice par não pode ser negativo:
 
     $\mathsf{x^2+y^2-1\ge 0}\\\\ \mathsf{x^2+y^2\ge 1}$


A desigualdade acima representa todos os pontos do plano que são exteriores à circunferência de centro na origem e raio  1,  cuja equação é  x² + y² = 1,  incluindo os pontos da circunferência.


Portanto, o domínio de  f  é

     $\mathsf{Dom(f)=\left\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2:~~y<x~~e~~x^2+y^2\ge 1\right\}.}$


A representação geométrica do domínio da função segue em anexo.


Bons estudos! :-)