determine o dominio da funcao f(x)=logx(x²+x-2)
Soluções para a tarefa
Resposta:
Domínio de f(x) = ( 1 ; + ∞ )
Explicação passo a passo:
O domínio desta função é a intersecção dos valores possíveis para a
base (x) e para o logaritmando ( x² + x - 2 ).
Domínio de f(x) = ( 1 ; + ∞ )
Função logarítmica tem duas condições para ser possível :
- base > 0 e base ≠ 1
- logaritmando > 0
Aqui considero que base "x" seja tratada como "b" para não criar
confusão com o "x" do logaritmando , durante os cálculos.
Onde:
- base "b" b > 0 e b ≠ 1
- logaritmando ( x² + x - 2 ) será > 0
Na função logarítmica a expressão x² + x - 2 tem que ser maior que
zero, ou seja positiva.
Determinar o sinal da função g (x) = x² + x - 2
Funções completas do 2º grau são do tipo :
g (x) = ax² + bx + c a ; b ; c ∈ |R a ≠ 0
Analisar esta função:
- a = 1 , logo a > 0 ⇒ parábola com concavidade virada para cima
- concavidade virada para cima ⇒ função positiva fora do intervalo
entre as raízes
- Determinação dos zeros
Equação do 2º grau, usar a Fórmula De Bhascara
x = ( - b ± √Δ ) /2a Δ = b² - 4 * a *c a ≠ 0
x² + x - 2 = 0
a = 1
b = 1
c = - 2
Δ = 1² - 4 * 1 * ( - 2 ) = 1 + 8 = 9
√Δ = √9 = 3
x1 = ( - 1 + 3) /( 2 * 1 )
x1= 2 / 2
x1 = 1
x2 = ( - 1 - 3) /( 2 * 1 )
x2 = - 4 / 2
x2 = - 2
Análise do sinal da função g(x)
- negativo no intervalo entre as raízes ( - 2 ; 1 )
- positivo nos intervalos ( - ∞ ; - 2 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
- O sinal de uma função é visto no eixo y
Visualização de vários pontos de g (x).
Nos pontos A ; B ; C ; D o valor de coordenada em y é positivo, pois os
valores de x estão fora do intervalo entre as raízes, X1 e X2
Estes pontos pertencem ao domínio de g (x) .
Nos pontos E ; F ; G ; V o valor da coordenada em y é negativo, pois os
valores de x estão no intervalo entre as raízes, X1 e X2
Estes pontos não pertencem ao domínio de g (x).
De acordo com o enunciado do exercício
A base " x " está definida na condição
x > 0 e x ≠ 1
O "x" do logaritmando " x² + x - 2 = 0 " está definido no intervalo
( - ∞ ; - 2 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
Para encontrar o valor de "x" tem que se ver os valores comuns :
- aos valores possíveis para a base
- aos valores possíveis para logaritmando
Vou representar as condições na reta real.
Depois farei a interseção dos dois conjuntos.
Base "x" { x ∈ |R | x > 0 e x ≠ 1 }
- ∞ 0 1 + ∞
---------------------------------º///////////º//////////////////////////
O zero e o 1 não pertencem a este intervalo
Logaritmando
- ∞ - 2 1 + ∞
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\º------------------º\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
O - 2 e o 1 não pertencem a este intervalo
Interseção dos dois conjuntos → só se marca o que é comum aos dois
conjuntos
1 + ∞
------------------------------------------------º+++++++++++++++++++++++++++
O 1 não pertence ao intervalo
Domínio de f (x) = ( 1 ; + ∞ )
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Observação 1 → Logaritmo de "a" na base "b" é "x"
Lê-se:
O logaritmo de "a" na base "b" é "x"
equivalente a dizer
a = b elevado a "x"
Observação 2 → Coeficientes "escondidos"
São ou " + 1 " ou " - 1 " e não aparecem escritos. Foi uma opção dos
matemáticos para simplificar a escrita simbólica.
Mas esses valores estão lá quando é necessário fazer operações com
eles.
Exemplo
+ 1 * x² + 1 * x - 2 = 0
Bons estudos
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( > ) maior do que ( ≠ ) diferente de ( ∈ ) pertence a
( |R ) conjunto dos números reais ( ⇒ ) implica
( ∪ ) união ou reunião
( º ) indica que esse ponto não pertence ao intervalo
( ////// ) ; ( \\\\\\ ) e ( +++++++ ) símbolos para registar os respetivos
intervalos na reta real
Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.
O que eu sei, eu ensino.
