Question

Determine o domínio da função f(x) = arcsen(2x) e a sua inversa

Answer 1

Determinar o domínio da função

$f(x)=\mathrm{arcsen}(2x)$

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Para o arco exista, devemos ter

$-1\le 2x\le 1\\\\ -\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}$

($2x$ é o seno de algum arco, por isso, não pode passar de $1$ em valor absoluto)


Portanto, o domínio de $f$ é

$\mathrm{Dom}(f)=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\;-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}\right.\right\}$

ou usando a notação de intervalos,

$\mathrm{Dom}(f)=\left[-\frac{1}{2}\,,\;\frac{1}{2} \right ].$

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Temos a seguinte função

$\begin{array}{cccc} f:&\left[-\frac{1}{2}\,,\;\frac{1}{2} \right ]&\to& \left[-\frac{\pi}{2}\,,\;\frac{\pi}{2} \right ]\\\\ &x&\mapsto&\mathrm{arcsen}(x) \end{array}$


e desejamos encontrar a sua inversa $f^{-1}.$


Da definição de função inversa, devemos ter

$f(f^{-1}(x))=x\\\\ \mathrm{arcsen}(2\,f^{-1}(x))=x\\\\ 2\,f^{-1}(x)=\mathrm{sen\,}x\\\\ \boxed{\begin{array}{c}f^{-1}(x)=\dfrac{1}{2}\,\mathrm{sen\,}x \end{array}}$