Question

Determine o domínio da função:
f(x) = ㏒₅ $(\frac{x+1}{1-x})$

Answer 1

É uma função logarítmica, quando tratamos de logaritmos, o logaritmando deve ser positivo:

$\frac{x+1}{1-x}>0$

Quando que esta fração será positiva? Quando tanto o numerador quanto o denominador forem positivos OU quando tanto o numerador quanto o denominador forem negativos.

Numerador e denominador positivos:

$x+1>0\\x>-1\\-1<x$

$1-x>0\\-x>-1\\x<1$

Realizando a intersecção obtemos o seguinte intervalo onde o numerador E o denominador são maiores que 0:

$-1<x<1$

Numerador e denominador negativos:

$x+1<0\\x<-1$

$1-x<0\\-x<-1\\x>1$

Impossível de ocorrer, não existem números menores que -1 e, ao mesmo tempo, maiores que 1.

Condição de existência:

A partir disso descobrimos que a condição de existência desta função é que obedeça ao intervalo $-1<x<1$.

Também teria a condição de existência do denominador da fração ser diferente de 0 (não pode ocorrer divisão por 0). Mas quando desenvolvemos isso:

$1-x\neq 0$

$-x\neq -1$

$x\neq 1$

Note que a condição de existência $-1<x<1$ já não permite que x seja igual a 1, então não é necessário explicitar esta segunda condição de existência no domínio.

Finalmente temos o domínio desta função no conjunto dos Reais:

$D(f)=\{x\in R\ |-1<x<1\}$