Question

Determine o dígito das unidades de:

$\mathsf{2014^{2015^{2016^{2017}}} + 2013^{2014^{2015^{2016}}} + 2015^{2016^{2017^{2018}}}}$


_____________

Por favor responder de forma detalhada.

Answer 1

Note que:

$4^1\equiv4\pmod{10}$
$4^2\equiv6\pmod{10}$
$4^3\equiv4\pmod{10}$
$4^4\equiv6\pmod{10}$

Isto é, $4^{2n}\equiv6\pmod{10}$ e $4^{2n+1}\equiv4\pmod{10}$

Logo, $2014^{2015^{2016^{2017}}}}\equiv4\pmod{10}$, pois  $2015^{2016^{2017}}}$ é ímpar.

$3^1\equiv3\pmod{10}$
$3^2\equiv9\pmod{10}$
$3^3\equiv7\pmod{10}$
$3^4\equiv1\pmod{10}$
$3^5\equiv3\pmod{10}$

Ou seja, $3^{4n}\equiv1\pmod{10}$

Note que $2014\equiv2\pmod{4}$. Assim, $2014^{2015^{2016}}\equiv2^{2015^{2016}}\pmod{4}$

Mas, $4~|~2014^{2015^{2016}}$. Então, $2^{2015^{2016}}\equiv0\pmod{4}$

Deste modo, o algarismo das unidades de $2013^{2014^{2015^{2016}}}$ é $1$

E o algarismo das unidades de $2015^{2016^{2017^{2018}}}$ é $5$, pois $5^{k}\equiv5\pmod{10}$, $\forall~\text{k}\in\mathbb{N}$

Portanto:

$2014^{2015^{2016^{2017}}}+2013^{2014^{2015^{2016}}}+2015^{2016^{2017^{2018}}}\equiv4+1+5\equiv0\pmod{10}$

O algarismo das unidades de $2014^{2015^{2016^{2017}}}+2013^{2014^{2015^{2016}}}+2015^{2016^{2017^{2018}}}$ é $0$

Answer 2

Sabemos que ao elevarmos qualquer número terminado em 5 a um expoente n natural resultará em um número terminado em 5.(terminar em n = (algarismos das unidades = n).

Assim:

$2015^{2016^{2017^{2018}}}$ termina com o número 5 assim como 2015 termina em 5.

Com o número 2014 temos 2 possibilidades:

O número pode terminar em 4 se o expoente que eleva o número que termina em 4 for impar, e terminar em 6 se o expoente for par.

Assim:

$2014^{2015^{2016^{2017}}}$ termina em 4, pois garantimos anteriormente que $2015^n$ é um número impar.

Falta apenas analizar o caso do 3.

Números terminados em 3 podem terminar em:

1 se n mod 4 = 0
3 se n mod 4 = 1
9 se n mod 4 = 2
7 se n mod 4 = 3

(a mod b significa "O resto da divisão de a por b")

De onde tiro todas essas informações? Dessa propriedade:

Considere "a" um número de n algarismos, e "b" um algarismo representando as unidades.

(10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2

Ex: 103  a=10 b=3
103^2 = 100*10^2+20*10*3+3^2 = 10000+600+9 = 10609

Veja que o algarismo das unidades é determinado apenas pelo termo b^2, que são os algarismos das unidades dos termos anteriores.

No caso do 3, temos a seguinte tabela:

3^0=1 => 1
3^1=3 => 3
3^2=9 => 9
3^3=27 => 7
3^4=81 => 1
3^5 = 243 => 3
...

Agora basta descobrir a divisibilidade de $2014^{2015^{2016}}$ por 4.
Se esse termo tiver dois fatores de 2, já é divisível por 4.
e isto é verdade pois 2014 é par e está elevado a um n inteiro maior que 1.

Assim  o termo do meio é terminado em 1.

Somando os termos temos:

4+1+5 = 10 que termina em 0.

A resposta é: 0

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