determine o décimo terceiro termo da PA 3 5 7
Soluções para a tarefa
3,5,7
razao = a2 - a1 = 5 - 3 = 2
An = a1 + ( n - 1 ) . r
A13 = 3 + ( 13 - 1 ) . 2
A13 = 3 + 12 . 2
A13 = 3 + 24
A13 = 27
o décimo terceiro termo é 27
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da sequência (3, 5, 7,...), tem-se:
a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;
b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:3
c)décimo terceiro termo (a₁₃): ?
d)número de termos (n): 13
- Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 13ª), equivalente ao número de termos.
e)Embora não se saiba o valor do décimo terceiro termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastam-se do zero, para a direita, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 5 - 3 ⇒
r = 2 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo terceiro termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₁₃ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₁₃ = 3 + (13 - 1) . (2) ⇒
a₁₃ = 3 + (12) . (2) ⇒ (Veja a Observação 2.)
a₁₀ = 3 + 24 ⇒
a₁₀ = 27
Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).
Resposta: O décimo terceiro termo da P.A.(3, 5, 7,...) é 27.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₁₃ = 27 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo terceiro termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₁₃ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
27 = a₁ + (13 - 1) . (2) ⇒
27 = a₁ + (12) . (2) ⇒
27 = a₁ + 24 ⇒ (Passa-se 24 ao 1º membro e altera-se o sinal.)
27 - 24 = a₁ ⇒
3 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 3 (Provado que a₁₃ = 27.)
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